Geometric properties of partial least squares for process monitoring(过程监控的偏最小二乘几何性质)

题目：Geometric properties of partial least squares for process monitoring

过程监控的偏最小二乘几何性质

1、the standard PLS algorithm

a.模型：

                   

                    

  其中，得分矩阵；

              X的负载矩阵；

              Y的负载矩阵；

                 E,F残差矩阵

               A is the PLS component number

b.求解：非线性迭代最小二乘法(NIPALS)

      nonlinear iterative partial least-squares algorithm 

权重向量，

T cannot be calculated from X directly using W.    So:

T can be computed from the original X:     

P, R and W have the following relationship:

2、The effect of Y on the X-space decomposition

PLS中的原始权重向量r位于由PCA得到的权值向量所张成的空间中。

那么我们将上述关系改写成：

                         ，其中，

那么，

                         

又因为：

                         

所以：

                        

在约束的条件下最大，得：

                          

由此可到以下结论：

（1)  通常来说，r 和p之间的夹角是不为0的。但当PCA 得到的最大特征值和最小特征值相等时，夹角最大值为0。

（2）两者之间的夹角是有上限的，可得到夹角的最大值，此时特征值的差异是最大的。

（3）如果r是的一个特征向量，即只有一个不等于0，此时两者夹角也是0。

（4）是相等的，那么久夹角为0。

         由以上分析可知：PLS 对X空间的分解取决于X的协方差的椭球化程度（特征值是否差异很大），以及输出Y是否与主要的PCA的得分向量相关。通常来说的特征值的差异是比较大的。如果输出Y与主元分析PCA主要得分比较相关，那么PLS分解与PCA分解是相似的。但如果输出Y和PCA得分中次要的相关，那么PLS分解就和PCA有着很大的差距,X 残差 (E) 中留下的方差可能很大，直接应用 Q 统计量监测 X 残差是有问题的。

3、Three PLS algorithms are analyzed

（一）Space decomposition:

    1)PCA:

              

              

              

              注：和正交

    2)PLS:  oblique decomposition斜分解

              

              

              

              注：

     3)weight-deflated PLS(WPLS)：正交分解

              

              

              

              注：

      4)simplified PLS(SIMPLS)：正交分解

              

              

              

              注：，the generalized inverse of P

总结：分解示意图

（二）Process monitoring

    PLS:

    WPLS:

    SIMPLS:

总结：

                1. WPLS: a.会受发生在的故障的影响，即故障发生在，也会报警。

                                  b.用和同时检测，会发生报警失败

                2. SIMPLS:有相同的缺点；此外，T和Y不完全相关，失去了 PLS 监控的最初目的。

[注]：本文所涉及图表均出自原论文，仅用作学术笔记，不作商用。