【机器学习】近似推断的基本概念以及变分贝叶斯的基本概念

引言

近似推断是处理大规模或复杂概率图模型时常用的一种方法,特别是在精确推断变得不可行或不实际的情况下

文章目录

  • 引言
  • 一、近似推断
    • 1.1 常见的近似推断方法
      • 1.1.1 采样方法(Sampling Methods)
        • 1.1.1.1 马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)
        • 1.1.1.2 重要性采样(Importance Sampling)
        • 1.1.1.3 蒙特卡洛模拟(Monte Carlo Simulation)
      • 1.1.2 变分推断(Variational Inference)
        • 1.1.2.1 平均场近似(Mean Field Approximation)
        • 1.1.2.2 团队优化(Coordinate Ascent Variational Inference, CAVI)
      • 1.1.3 混合方法(Hybrid Methods)
        • 1.1.3.1 变分马尔可夫链蒙特卡洛(Variational MCMC)
    • 1.2 近似推断的优缺点
      • 1.2.1 优点
      • 1.2.2 缺点
  • 二、变分贝叶斯
    • 2.1 基本概念
    • 2.2 目标
    • 2.3 步骤
    • 2.4 具体方法
    • 2.5 应用
    • 2.6 优点
    • 2.7 缺点
    • 2.8 总结

一、近似推断

近似推断是处理大规模或复杂概率图模型时常用的一种方法,特别是在精确推断变得不可行或不实际的情况下。近似推断的目标是找到一个足够接近真实后验概率分布的近似分布,从而使得计算更加高效

1.1 常见的近似推断方法

1.1.1 采样方法(Sampling Methods)

采样方法通过从概率分布中抽取样本来进行推断。这些方法通常易于实现,并且可以应用于各种类型的概率模型

1.1.1.1 马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)

MCMC是一种基于马尔可夫链的采样方法,它通过构建一个马尔可夫链,使其稳态分布为目标概率分布,从而可以从链中抽取样本

  • 吉布斯采样(Gibbs Sampling):一种特殊的MCMC方法,通过条件分布依次采样每个变量
  • Metropolis-Hastings算法:一种通用的MCMC方法,用于在难以直接采样的情况下进行采样
1.1.1.2 重要性采样(Importance Sampling)

重要性采样是一种利用已知分布来估计未知分布的方法。它通过从重要性分布中抽取样本,并调整样本权重来近似目标分布

1.1.1.3 蒙特卡洛模拟(Monte Carlo Simulation)

蒙特卡洛模拟是一种基于重复随机抽样的方法,用于计算难以直接求解的数学问题的数值解

1.1.2 变分推断(Variational Inference)

变分推断是一种优化方法,它通过寻找一个简单的分布(通常是指数族分布),使得该分布与目标分布之间的差异最小

1.1.2.1 平均场近似(Mean Field Approximation)

平均场近似是变分推断中的一种方法,它假设所有变量都是独立的,从而简化了目标分布的计算

1.1.2.2 团队优化(Coordinate Ascent Variational Inference, CAVI)

CAVI是一种迭代算法,通过交替优化变分参数来逼近目标分布

1.1.3 混合方法(Hybrid Methods)

混合方法结合了采样和变分推断的优点,旨在提高推断的准确性和效率

1.1.3.1 变分马尔可夫链蒙特卡洛(Variational MCMC)

变分MCMC结合了变分推断和MCMC,用于处理难以直接采样的复杂模型

1.2 近似推断的优缺点

1.2.1 优点

  • 可扩展性:适用于大规模数据集和复杂模型
  • 计算效率:通常比精确推断更快,尤其是对于包含大量变量的模型
  • 灵活性:可以应用于多种类型的概率模型

1.2.2 缺点

  • 近似误差:近似推断的结果不是精确的,可能存在误差
  • 收敛性:某些方法(如MCMC)可能需要很长时间才能收敛
  • 实现复杂度:某些近似方法(如变分推断)的实现可能相对复杂
    近似推断是机器学习和统计推断中非常重要的工具,尤其是在处理实际应用中的问题时,它们提供了一种在准确性和计算效率之间进行权衡的有效手段。

二、变分贝叶斯

变分贝叶斯推断(Variational Bayesian Inference,简称VB或VB inference)是一种用于概率模型的近似推断方法,它通过优化一组参数来近似真实后验概率分布。这种方法特别适用于包含隐变量或参数不确定性较大的复杂模型
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2.1 基本概念

  • 隐变量(Latent Variables):模型中的不可观测变量
  • 参数(Parameters):模型的参数,通常也是未知的
  • 变分分布(Variational Distribution):一组参数化的概率分布,用于近似真实后验分布

2.2 目标

变分贝叶斯推断的目标是最小化变分分布 q ( θ , Z ) q(\theta, Z) q(θ,Z)和真实后验分布 p ( θ , Z ∣ X ) p(\theta, Z | X) p(θ,ZX)之间的差异。这种差异通常通过Kullback-Leibler散度(KL散度)来衡量。

2.3 步骤

  1. 定义变分分布
    选择一个易于处理的变分分布族 q ( θ , Z ; λ ) q(\theta, Z; \lambda) q(θ,Z;λ),其中 λ \lambda λ是变分参数
  2. 最大化证据下界(Evidence Lower Bound, ELBO)
    ELBO是证据(边际似然)的下界,可以写为:
    L ( λ ) = ∫ q ( θ , Z ; λ ) log ⁡ p ( X , θ , Z ) q ( θ , Z ; λ ) d θ d Z \mathcal{L}(\lambda) = \int q(\theta, Z; \lambda) \log \frac{p(X, \theta, Z)}{q(\theta, Z; \lambda)} d\theta dZ L(λ)=q(θ,Z;λ)logq(θ,Z;λ)p(X,θ,Z)dθdZ
    通过最大化ELBO,我们可以间接地最小化KL散度
  3. 优化变分参数
    使用优化算法(如梯度上升或坐标上升)来调整变分参数 λ \lambda λ,直到ELBO收敛
  4. 推断结果
    一旦变分分布 q ( θ , Z ; λ ) q(\theta, Z; \lambda) q(θ,Z;λ)被确定,就可以用它来近似后验分布,进行预测和决策

2.4 具体方法

  • 平均场近似(Mean Field Approximation):
    假设变分分布可以分解为各个变量的乘积形式,即 q ( θ , Z ) = q ( θ ) ∏ i q ( Z i ) q(\theta, Z) = q(\theta) \prod_i q(Z_i) q(θ,Z)=q(θ)iq(Zi)。这种方法简化了计算,但可能牺牲了精确性
  • 坐标上升法(Coordinate Ascent Variational Inference, CAVI):
    通过交替更新变分参数来最大化ELBO,每次只优化一个变量或参数的变分分布

2.5 应用

变分贝叶斯推断广泛应用于以下领域:

  • 主题模型(如隐Dirichlet分配模型)
  • 贝叶斯网络
  • 深度学习模型中的不确定性估计
  • 贝叶斯非参数模型

2.6 优点

  • 计算效率:通常比精确推断更高效,尤其是对于大规模数据集
  • 易于实现:可以通过标准优化算法来实现
  • 提供后验分布的近似:不仅给出点估计,还能提供关于参数的不确定性估计

2.7 缺点

  • 近似误差:变分分布可能无法完全准确地近似真实后验分布
  • 模型依赖性:选择合适的变分分布可能需要领域知识和经验

2.8 总结

变分贝叶斯推断是一种强大的工具,它使得在复杂模型中进行概率推断变得可行,尤其是在精确推断不实际的情况下

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