日常教学系列——界限角的三角函数值

          01教材内容设计分析

      界限角的三角函数值排在任意角的三角函数概念之后，在这之前学生已经学会了求任意角三角函数值的方法——利用角的终边上任意一点的坐标与定点和坐标原点的距离之间的比与角的三角函数值之间的一一对应关系。在此基础上还学习了各象限角的三角函数值的正负号，学生知道角落在第几象限的三角函数值符号与点所在象限的符号一一对应。而界限角是特殊的，它们的终边与纵横坐标重合，因此点的选择就简化了，就拿0度角终边上任一点坐标P(X,Y)，都有r=x,y=0。因此，利用三角函数的定义，有sin0=y/r=0/r=0,cos0=x/r=r/r=1,tan0=y/x=0/x=0.利用同样的方法就可以得到π/2,π，3π/2,2π等界限角的三角函数值。

教材上缺少的插图

      课本上界限角求法的证明过程描述，教师能通过画图更清晰呈现，利用特殊角落在坐标轴上坐标与r的关系，我们就可以得到界限角的三角函数值。缺点是缺少关键图的展示，并未改变定义任意角三角函数值的方式。等到同角三角函数关系的时候再引入单位圆与角的终边交点坐标与角的三角函数值之间的对应关系，利用勾股定理求得直角三角形三边之间的关系式，转化为三角函数值之间的关系，也为下面诱导公式的推导做好充分铺垫。但是我个人感觉，引入单位圆，宜早不宜迟，理由就是单位圆的引入可以把求任意角的三角函数求法中r进行简化运算，也是顺其自然的方式，就可以顺便解决界限角的三角函数值的问题，关键的是借助单位圆可以画图对比，来向学生清晰展现求解任意角的三角函数值。

                    02教学过程反思

        回顾上节课所学求任意角的三角函数值，并在平面直角坐标系里面画出来，设角α终边上一点M(x,y)则sinα=y/r  cosα=x/r      tanα=y/x，而r的值需要利用勾股定理算出来。

        当我们把平面直角坐标系建立在单位圆内，则r的长度变为恒定值1，于是任意角的三角函数值公式变为sinα=y/r =y    cosα=x/r= x      tanα=y/x

        无论是通过画图对比还是公式对比，学生都能直观感受到单位圆求任意角的三角函数值比较方便。在此基础上再引入界限角的三角函数值，分别在坐标轴和单位圆内做出0,    π/2,      π，  3π/2，  2π的终边，于是交点坐标确定 界限角的三角函数值随机确定。

距离r求解困境

解决任意角求解不足之处

               

                03学生学习存在问题

        当要求学生用自己的方法识记界限角的三角函数值，并给予充分时间，等组长提问和被我提问的时候发现，学生能顺利写出0,    π/2,    π，3π/2,    2π的三角函数值，但是当我提问学生450°，-π/2, 5π的三角函数值的时候，学生一头雾水，没能发现终边相同角的三角函数值是相同的。这些情况一定程度上说明，学生对于界限角的三角函数值的识记是采用死记硬背的形式，并没有有效利用画图的形式来解决问题。

        有同学提出，90°角如何构造直角三角形求三角函数值？我结合今天的讲课跟她说明，构造直角三角形是比较低级的形式，只适合初中阶段锐角三角函数值求解，咱高中阶段就需要比对初中构造直角三角形的三角函数值，找到求任意角的三角函数值的方法——利用终边上的任意点坐标；当任意点坐标跟单位圆结合的时候，会把任意角的三角函数值求解过程大大简化。这些过程都说明，当一个数学方法解决不了特殊问题时 ，就会重新定义这个概念，伴随而来的就是新的测量方法。