【高中数学/三角函数/判别式法求极值】已知：实数a,b满足a^2/4-b^2=1 求：3a^2+2ab的最小值

【问题】

已知：实数a,b满足a^2/4-b^2=1 求：3a^2+2ab的最小值

【来源】

App"网易新闻"中up主“我服子佩”的数学视频专辑，据其称是北京市某年的竞赛题。

【解答】

由a^2/4-b^2=1，联想到secθ^2-tanθ^2=1

故设a/2=1/cosθ,b=sinθ/cosθ

将a=2/cosθ,b=sinθ/cosθ代入3a^2+2ab得

f(θ)=(12+4sinθ)/(1-sinθ^2)

此时以x=sinθ,f(θ)=y代入得

y=(12+4x)/(1-x^2)  x∈[-1,1]

展开得 yx^2+4x+(12-y)=0

其Δ=16-4y(12-y)>=0

由此得到y^2-12y+4>=0

于是y>=6+4*根号二约等于11.656，或y<=6-4*根号二 (此项舍去)

最终结论就是最小值是6+4*根号二约等于11.656

【函数图像证明】

由y=(12+4x)/(1-x^2)  x∈[-1,1] 我们可以借助Html5/Canvas轻松画出图像，看图线的最低的点是否是11.657附近（允许稍有误差）

如图，实际的最低点11.657与理论计算的11.656仅有千分之一的误差，完全在可接受的范围内。

至此可说，理论和实际是可以相互印证的，理论答案也和up主“我服子佩”给出的一致。

【绘制图像的Canvas代码】

     
     
     

     
        

            
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