HDU 2842 (递推+矩阵快速幂)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2842

题目大意：棒子上套环。第i个环能拿下的条件是：第i-1个环在棒子上，前i-2个环不在棒子上。每个环可以取下或放上，cost=1。求最小cost。MOD 200907。

解题思路：

递推公式

题目意思非常无聊，感觉是YY的。

设$dp[i]$为取第i个环时的总cost。

$dp[1]=1$，$dp[2]=2$，前两个环取下是没有条件要求的。

从i=3开始，由于条件对最后的环限制最大，所以从最后一个环开始取。

$p[3]=5$（先取下第一个环，然后第三个环，然后放上第一个环，然后取下第二个环，然后取下第一个环)

$dp[4]=10$（规律是：取i环花费1，依赖花费$dp[i-1]$、$2*dp[i-2]$)

所以$dp[i]=dp[i-1]+2*dp[i-2]+1$

矩阵快速幂

任何递推数列都能构造矩阵求解，有N个参数的通项公式，至少需要构造$1*N$的矩阵

考虑到矩阵乘法的维数限制$[N,M]*[M,P]$，通常构造成$N*N$的矩阵。

构造方法就是按矩阵乘法的特性，先构造出幂矩阵第一列，然后YY出剩余列。

本题构造如下：

$\begin{bmatrix}f2 & f1  & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &  1&0 \\ 2 &  0&0 \\ 1& 0 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f3 &  f2&1 \\
0 &  0&0 \\ 0& 0 &0\end{bmatrix}$

特判n=1、n=2，从n=3开始，幂(n-2)次，乘以基础f2、f1的矩阵。

代码

#include "cstdio"

#include "cstring"

#define LL long long

#define mod 200907

#define K 3

struct Matrix

{

    LL mat[K][K];

    Matrix() {memset(mat,0,sizeof(mat));}

    Matrix(LL *val)

    {

        int idx=0;

        for(int i=0;i<K;i++)

            for(int j=0;j<K;j++)

              mat[i][j]=val[idx++];

    }

};

Matrix operator * (Matrix a,Matrix b)

{

    Matrix ret;

    for(int i=0;i<K;i++)

        for(int j=0;j<K;j++)

    {

        ret.mat[i][j]=0;

        for(int k=0;k<K;k++)

            ret.mat[i][j]+=((a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod);

    }

    return ret;

}

Matrix operator ^ (Matrix a,int n)

{

    Matrix ret,base=a;

    for(int i=0;i<K;i++) ret.mat[i][i]=1;

    while(n)

    {

        if(n&1) ret=ret*base;

        base=base*base;

        n>>=1;

    }

    return ret;

}

int main()

{

    //freopen("in.txt","r",stdin);

    LL n;

    while(scanf("%I64d",&n)&&n)

    {

        if(n==1) printf("1\n");

        else if(n==2) printf("2\n");

        else

        {

            LL bval[]={2,1,1,0,0,0,0,0,0};

            LL pval[]={1,1,0,2,0,0,1,0,1};

            Matrix Base(bval),Pow(pval),ans=Pow^(n-2);

            ans=Base*ans;

            printf("%I64d\n",ans.mat[0][0]%mod);

        }

    }

}