SGU106 - The equation

106. The equation

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There is an equation ax + by + c = 0. Given a,b,c,x1,x2,y1,y2 you must determine, how many integer roots of this equation are satisfy to the following conditions : x1<=x<=x2,   y1<=y<=y2. Integer root of this equation is a pair of integer numbers (x,y).

 

Input

Input contains integer numbers a,b,c,x1,x2,y1,y2 delimited by spaces and line breaks. All numbers are not greater than 10⁸ by absolute value.

 

Output

Write answer to the output.

 

Sample Input

1 1 -3

0 4

0 4

Sample Output

4
题解：运用扩展欧几里得解二元一次方程。我们可以找出一对整数（x,y),使得方程ax+by=gcd(a,b)。因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以ax+by=bx'+(a%b)y',因为a%b=a-a/b*b;所以ax+by=ay'+b(x'-(a/b)*y').
即：
x=y';
y=x'-(a/b)*y';这样运用迭代法我们就可以求出（x,y)。
扩展欧几里得算法代码：(摘自刘汝佳大神的《算法竞赛入门经典》（P179)

1 void gcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y)

2 {

3    if(!b){d=a; x=1; y=0;}

4   else{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}

5 }

当我们运用上述方法求出ax+by=gcd(a,b)之后，假设解为（x1,y1)我们就可以用来求ax+by=c的一组解(x0,y0)，设k=c%gcd(a,b),如果k!=0，即c不是gcd(a,b)的倍数，那么此方程无整数解。

如果不等于0，那么a(x1*c/gcd(a,b))+b(y1*c/gcd(a,b))=c。所以x0=x1*c/gcd(a,b),y0=y1*c/gcd(a,b)。其余的整数解可以写成这样（x0+kb',y0-ka'),其中b'=b/gcd(a,b),a'=a/gcd(a,b)。具体推导过程请看《算法竞赛入门经典》179...记住即可。。。

对于此题我们只要枚举K，使得：

x1<=x0+kb'<=x2

y1<=y0-ka'<=y2

直接解出两个不等式的解，然后求交集即得到了K的范围，K的范围长度+1也即所有整数解的数量。

注意精度问题以及a,b,c的正负。

 

View Code

  1 #include<stdio.h>

  2 #include<math.h>

  3 #include<stdlib.h>

  4 typedef struct

  5 {

  6     long long d;

  7     long long x;

  8     long long y;

  9 } NODE;

 10 NODE gcd(long long a,long long b)

 11 {

 12     NODE s,p;

 13     if(!b)

 14     {

 15         s.x=1;

 16         s.y=0;

 17         s.d=a;

 18         return s;

 19     }

 20     s=gcd(b,a%b);

 21     p.x=s.x;

 22     s.x=s.y;

 23     s.y=p.x-(a/b)*s.y;

 24     return s;

 25 

 26 }

 27 long long max(long long a,long long b)

 28 {

 29     return a>b?a:b;

 30 }

 31 long long min(long long a,long long b)

 32 {

 33     return a<b?a:b;

 34 }

 35 

 36 int main(void)

 37 {

 38     long long a,b,c,x1,x2,y1,y2,ll,rr,tt;

 39     scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);

 40     scanf("%lld%lld",&x1,&x2);

 41     scanf("%lld%lld",&y1,&y2);

 42     if(a==0&&b==0)

 43     {

 44         if(!c)printf("%lld\n",(x2-x1+1)*(y2-y1+1));

 45         else

 46             printf("0\n");

 47     }

 48     else if(a==0&&b!=0)

 49     {

 50         if(c%b==0&&(c/b)>=y1&&(c/b)<=y2)

 51             printf("%lld\n",x2-x1+1);

 52         else

 53             printf("0\n");

 54     }

 55     else if(a!=0&&b==0)

 56     {

 57         if(c%a==0&&(c/a)>=x1&&(c/a)<=x2)

 58             printf("%lld\n",y2-y1+1);

 59         else

 60             printf("\n");

 61     }

 62     else

 63     {

 64         c=-c;

 65         if(c<0)

 66         {

 67             a=-a;

 68             b=-b;

 69             c=-c;

 70         }

 71         if(a<0)

 72         {

 73             a=-a;

 74             tt=x1;

 75             x1=-x2;

 76             x2=-tt;

 77            }

 78            if(b<0)

 79         {

 80             b=-b;

 81             tt=y1;

 82             y1=-y2;

 83             y2=-tt;

 84            }

 85         NODE s=gcd(a,b);

 86         if(c%s.d)

 87             printf("0\n");

 88         else

 89         {

 90 

 91             s.x*=(c/s.d);

 92             s.y*=(c/s.d);

 93             printf("%lld %lld\n",s.x,s.y);

 94             ll=max(ceil((double)(x1-s.x)*s.d/b),ceil((double)(s.y-y2)*s.d/a));

 95             rr=min(floor((double)(x2-s.x)*s.d/b),floor((double)(s.y-y1)*s.d/a));

 96             if(ll>rr)

 97                 printf("0\n");

 98             else

 99                 printf("%lld\n",rr-ll+1);

100         }

101     }

102     return 0;

103 }