正交坐标系以及梯度、散度和旋度

[请参阅http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E5%9D%90%E6%A8%99%E7%B3%BB，如果没有被墙的话……]

直角坐标下，梯度grad(f)=df/dxa_x+df/dya_y+df/dza_z

df=df/dx·dx+df/dy·dy+df/dz·dz=grad(f)·dl

圆柱坐标下，可以用类似的方法得到梯度表达式：

df=df/dr·dr＋df/dφ·dφ＋df/dz·dz=grad(f)·dl

dl=dra_r+rdφa_φ+dza_z

于是grad(f)就有了。

圆柱和球坐标下的散度和旋度：使用向量运算恒等式将散度和旋度转换为梯度运算。见第一行。

 

旋度的散度为零，意味着一个散度场任意叠加上一个有旋场不会改变其散度，也就是说光凭矢量场的散度无法唯一地确定这个矢量场。而光凭矢量场的旋度也无法唯一地确定这个矢量，这是因为有旋场可以叠加上这么一个矢量场而不改变其旋度，而这个矢量场是一个标量函数的梯度。