两个整数划分——一句话造成完全不同的算法

首先我们来看两道题目：

1. 将一个整数n分成若干个互不相同的数的和，使得这些数的乘积最大。其中1<=n<=1000。
2. 若干个正整数之和为n，其中：n<2000，试求它们乘积的最大值以及该最大值的位数k。

很容易看出来，两道题目的区别就在于第一道题目要求各个数不同。

我们来看看4～10这几个数分解的方法，这个可以手工进行计算得出：

• 4 2*2
• 5 2*3
• 6 2*4
• 7 3*4
• 8 3*5
• 9 2*3*4
• 20 2*3*5

大家在做中学的物理题的时候，应该都知道两个和相等的数，相差越小乘积越大。那么很容易想到这个也是相差越小，乘积越大。那么我们要做的就是将n分为互不相同的几分，要求相差最小。

我们的做法就是，从2开始，每个数是前面的数+1。直到无法满足为止，然后在将剩下的数从后向前给每个数分1。比如说8，第一步我们分为2,3，剩下3，然后从后向前给每个数分1，变成3,4，剩下1，然后重复分1的过程，得到最终结果3,5。

整数分解1

    
      

     
       
     
       #include 
     
       <
     
       stdio.h
     
       >
     
       

     
       #define
     
        maxn 10000
     
       


     
       int
     
        a[maxn];

     
       int
     
        n,tot;

     
       long
     
        
     
       long
     
        ans;


     
       int
     
        main()
{
 freopen(
     
       "
     
       fen1.in
     
       "
     
       ,
     
       "
     
       r
     
       "
     
       ,stdin);
 freopen(
     
       "
     
       fen1.out
     
       "
     
       ,
     
       "
     
       w
     
       "
     
       ,stdout);
 
 scanf(
     
       "
     
       %d
     
       "
     
       ,
     
       &
     
       n);
 a[
     
       0
     
       ]
     
       =
     
       1
     
       ;
 
     
       while
     
        (n
     
       >
     
       a[tot])
 {
 
     
       ++
     
       tot;
 a[tot]
     
       =
     
       a[tot
     
       -
     
       1
     
       ]
     
       +
     
       1
     
       ;
 n
     
       -=
     
       a[tot];
 }
 
     
       while
     
        (n)
 
     
       for
     
        (
     
       int
     
        i
     
       =
     
       tot;i
     
       >
     
       0
     
       ;
     
       --
     
       i)
 {
 
     
       if
     
        (
     
       !
     
       n) 
     
       break
     
       ;
 
     
       ++
     
       a[i];
 
     
       --
     
       n;
 }
 
     
       for
     
        (
     
       int
     
        i
     
       =
     
       1
     
       ;i
     
       <
     
       tot;
     
       ++
     
       i) printf(
     
       "
     
       %d 
     
       "
     
       ,a[i]);
 printf(
     
       "
     
       %d\n
     
       "
     
       ,a[tot]);
 ans
     
       =
     
       1
     
       ;
 
     
       for
     
        (
     
       int
     
        i
     
       =
     
       1
     
       ;i
     
       <=
     
       tot;
     
       ++
     
       i) ans
     
       *=
     
       a[i];
 printf(
     
       "
     
       %lld\n
     
       "
     
       ,ans);
 
     
       return
     
        
     
       0
     
       ;
}

    
      

 

然后看第二题。

根据数学规律可知,若要使和固定的数的乘积最大，必须使这些数尽可能的多为3，于是可推得以下规律：

当N mod 3＝1 时，N可分解为一个4和若干个3的和；  

当N mod 3＝2 时，N 可分解为一个2和若干个3的和；

当N mod 3＝0 时，N 直接分解为若干个3的和。

按照这一分解方法，所有因数的乘积必定最大。

整数分解2

    
      

     
       
     
       #include 
     
       <
     
       stdio.h
     
       >
     
       


     
       long
     
        
     
       long
     
        ans;

     
       int
     
        n;


     
       int
     
        main()
{
 freopen(
     
       "
     
       fen2.in
     
       "
     
       ,
     
       "
     
       r
     
       "
     
       ,stdin);
 freopen(
     
       "
     
       fen2.out
     
       "
     
       ,
     
       "
     
       w
     
       "
     
       ,stdout);
 
 ans
     
       =
     
       1
     
       ;
 scanf(
     
       "
     
       %d
     
       "
     
       ,
     
       &
     
       n);
 
     
       if
     
        (n
     
       %
     
       3
     
       ==
     
       0
     
       )
 
     
       while
     
        (n)
 {
 ans
     
       *=
     
       3
     
       ;
 n
     
       -=
     
       3
     
       ;
 }
 
     
       else
     
        
     
       if
     
        (n
     
       %
     
       3
     
       ==
     
       1
     
       )
 {
 ans
     
       =
     
       4
     
       ;
 n
     
       -=
     
       4
     
       ;
 
     
       while
     
        (n)
 {
 ans
     
       *=
     
       3
     
       ;
 n
     
       -=
     
       3
     
       ;
 }
 }
 
     
       else
     
       
 {
 ans
     
       =
     
       2
     
       ;
 n
     
       -=
     
       2
     
       ;
 
     
       while
     
        (n)
 {
 ans
     
       *=
     
       3
     
       ;
 n
     
       -=
     
       3
     
       ;
 }
 }
 printf(
     
       "
     
       %lld\n
     
       "
     
       ,ans);
 
     
       return
     
        
     
       0
     
       ;
}

 

    
      

两道题目看似相同，但是一个条件的限制使得两道题目的算法完全不同。认真审题，永远是第一步。