数学/扩展欧几里得/sgu 106 The equation

 

一、题意：

    给出a,b,c,x1,x2,y1,y2，求满足ax+by+c=0，且x∈[x1,x2],y∈[y1,y2]的整数解个数。

二、分析：

    对于解二元一次不定方程，容易想到利用扩展欧几里得求出一组可行解后找到通解，下面来介绍一下欧几里得以及扩展欧几里得。

1、欧几里得：

又名辗转相除法，是用来计算两个数的最大公约数，其中就是利用gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)来求解。下证gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)的正确性：

 

设a,b的一个公约数为d

设a mod b=r，则a=kb+r(k为整数)，r=a-kb

因为d|a,d|b

所以d|a-kb,即d|r，而r=a mod b

所以d为b,a mod b的公约数

又因为d也为a,b的公约数，所以（a,b)和(b,a mod b)的公约数一样，所以最大公约数必然一样，得证。

 

代码描述：

1 int gcd(int a,int b)

2 {

3     if (b==0) return a;

4     return gcd(b,a%b);

5 }

 

2、扩展欧几里得

    顾名思义，为上述欧几里得算法的扩展。欧几里得是用来求a,b的最大公约数，那么扩展欧几里得不仅能求出a,b的最大公约数，还能求出满足ax+by=gcd(a,b)的一组可行解。

求解过程中，扩展欧几里得比欧几里得多了一个赋值过程，具体证明如下：

 

设ax1+by1=gcd(a,b),bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)

因为由欧几里得算法可知，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

所以ax1+by1=bx2+(a mod b)y2

因为a mod b=a-(a div b)*b（div为整除）

所以有ax1+by1=bx2+(a-(a div b)*b)y2

将右边移项，展开得：

ax1+by1=ay2+bx2-(a div b)*b*y2

             =ay2+b[x2-(a div b)]y2

所以可得：x1=y2

              y1=x2-(a div b)*y2

将得到的的x1,y1递归操作求解x2,y2，如此循环往复，将会像欧几里得一样得到b=0的情况，此时递归结束，返回x=1,y=0，回溯得解。

 

代码描述：

此函数返回的是a,b的最大公约数，同时也求解出满足ax+by=gcd(a,b)的一组可行的(x,y)

 

1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

2 {

3     if (b==0) {x=1;y=0;return a;}

4     int t=exgcd(b,a%b,x,y);

5     int x0=x,y0=y;

6     x=y0;y=x0-(a/b)*y0;

7     return t;

8 }

 

 

 

 

3、关于求解二元一次不定方程ax+by=c

    首先，如果c不是gcd(a,b)的倍数，方程显然无解。

扩展欧几里得求解的是ax+by=gcd(a,b)=1的可行解，但是题目中并没有说c与a,b互质之类的条件，所以需要在开始时两边同时除以gcd(a,b)。

设d=gcd(a,b)

设a'=a/d,b'=b/d,c'=c/d,

则下面需要求解a'x+b'y=c'的整数解，而gcd(a',b')=1，

则我们只需求a'x+b'y=1的可行解

直接使用扩展欧几里得，得到(x',y'),则最终解为x'*c',y'*c'设为(x0,y0)。

 

现在得到了一组可行解，但是如何得到通解呢？

将(x0,y0)代入ax+by=c，则有

a*(x0)+b*(y0)=c

通过拆添项，可有：

a*(x0+1*b)+b*(y0-1*a)=c

a*(x0+2*b)+b*(y0-2*a)=c

a*(x0+3*b)+b*(y0-3*a)=c

……

a*(x0+k*b)+b*(y0-k*a)=c  (k∈Z)

至此，我们得到了通解的方程

x=x0+k*b

y=y0-k*a  (k∈Z)

这样，所有满足ax+by=c的可行解都可求出。

 

三、具体实现

有了主体算法，下面要谈到具体实现了。

先处理一下无解的情况：

1、当a=0并且b=0，而c≠0时，显然无解；

   当a=0,b=0，而c=0时，[x1,x2],[y1,y2]都为可行解，根据乘法原理，可行解的个数为(x2-x1+1)*(y2-y1+1);

2、当a=0 b≠0时：

此时即为求解by=c，则y=c/b，

如果c/b不是整数或c/b不在[y1,y2]的范围内，无解

否则[x1,x2]内全部整数都为可行解.

3、当b=0,a≠0时，同上。

4、若c不是gcd(a,b)的个数，方程显然无解。

 

处理完了一些繁琐的细节后，下面是具体的求解过程：

1、扩展欧几里得求解的是ax+by=c，而本题是ax+by+c=0，需将c移项。

2、对于本道题，首先要注意的是，对于负数的模运算在此算法中无法得到正确解，所以要处理一下a,b,c的正负情况。

如果a为负数，只需将a取相反数后，再处理一下x∈[x1,x2]的范围。当a取了相反数，相当于把x也取反，则需要把x的范围由[x1,x2]转变成[-x2,-x1],类似于把数轴反了过来。

b同理。

3、利用扩展欧几里得解二元一次不定方程，得到一组可行解(x0,y0)。

4、因为题目中对x,y有条件约束，而有x=x0+kb,y=y0-kb，我们可以求出满足x∈[x1,x2],y∈[y1,y2]的k的取值范围

即为求解x1<=x0+kb<=x2,y1<=y0-kb<=y2的整数k的个数

但是在求解这两个一次函数的过程中，会有除不尽的现象，该如何取整呢？

举个例子

当出现2.5<=k<=5.5时，我们需要的可行的k为3,4,5，所以需要将2.5向上取整得到3，5.5向下取整得到5，即为3<=k<=5；

当出现-5.5<=<=-2.5时，我们需要的可行的k为-5,-4,-3,所以需要将-5.5向上取整得到-5,-2.5向下取整得到-3，即为-5<=k<=-3；

正负数的情况都已经考虑完全了，可以得到取整的结论：上界下取整，下界上取整。

最后，将得到的两个范围取交集，得到[l,r]，则最终答案为r-l+1。

 

这样，本题就可以完美解决了。

 

 1 // BY Rinyo

 2 

 3 #include<cstdio>

 4 #include<cmath>

 5 long long a,b,c,x1,x2,yy1,y2,x0,yy0;

 6 inline long long cmin(const long long &x,const long long &y) {return x<y?x:y;}

 7 inline long long cmax(const long long &x,const long long &y) {return x>y?x:y;}

 8 

 9 long long gcd(long long a,long long b)

10 {

11     if (b==0) return a;

12     return gcd(b,a % b);

13 }

14 void exgcd(long long a,long long b)

15 {

16     if (b==0){x0=1;yy0=0;return;}

17     exgcd(b,a%b);

18     long long t=x0;x0=yy0;yy0=t-a/b*yy0;

19     return;

20 }

21 

22 int main()

23 {

24     scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c,&x1,&x2,&yy1,&y2);

25     c=-c;

26     if (c<0) {a=-a;b=-b;c=-c;}

27     if (a<0) {a=-a;long long t=x1;x1=-x2;x2=-t;}

28     if (b<0) {b=-b;long long t=yy1;yy1=-y2;y2=-t;}

29     if (a==0 && b==0)

30     {

31         if (c==0)

32         {

33             printf("%I64d",(x2-x1+1)*(y2-yy1+1));

34             return 0;

35         }

36         printf("0");return 0;

37     }

38     else if (a==0)

39     {

40         if (c %b ==0)

41             if (c/b<=y2 && c/b>=yy1) {printf("%I64d",x2-x1+1);return 0;}

42         printf("0");return 0;

43     }

44     else if (b==0)

45     {

46         if (c%a==0)

47             if (c/a<=x2 && c/a>=x1) {printf("%I64d",y2-yy1+1);return 0;}

48         printf("0");return 0;

49     }

50 

51     long long d=gcd(a,b);

52     if (c%d!=0){printf("0");return 0;}

53 

54     a=a/d;b=b/d;c=c/d;

55     exgcd(a,b);

56     x0=x0*c;yy0=yy0*c;

57 

58     double tx2=x2,tx1=x1,tx0=x0,ta=a,tb=b,tc=c,ty1=yy1,ty2=y2,ty0=yy0;

59     long long down1=floor(((tx2-tx0)/tb)),down2=floor(((ty0-ty1)/ta));

60     long long r=cmin(down1,down2);

61     long long up1=ceil(((tx1-tx0)/tb)),up2=ceil(((ty0-ty2)/ta));

62     long long l=cmax(up1,up2);

63     if (r<l) printf("0");

64     else printf("%I64d",r-l+1);

65     return 0;

66 

67 }

由于刚从pascal转c++，有些地方写的比较傻，请谅解并希望给予指正。