有限元法简介

有限元是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。1960年，克拉夫（Clough）在他的一篇论文“平面分析的有限元法（The Finite Element Method in Plane Stress Analysis）”中最先引入了有限元（Finite Element）这一术语。这一方法是结构分析专家把杆件结构力学中的位移法推广到求解连续体介质力学问题（当时是解决飞机结构应力分析）而提出来的。这一方法的提出，引起广泛的关注，吸引了众多力学，数学方面的专家学者对此进行研究。

有限元法之所以能在1960年立刻获得成功，一是Clough从结构力学方法推导的刚度矩阵易于为广大工程师接受，而有限元法最初也被称为矩阵近似方法；二是在于这个方法所包含的大量数值运算，而这可以由新发展起来的数字计算机来完成。

在20世纪70，80年代，许多学者研究和推导出了许多精确，更高效的单元，在单元形状，单元节点和插值函的类型等方面都得到了长足的发展。20世纪70年代，等参元的提出为研发出新的单元开辟了新的途径，推动了有限元的发展。经过近几十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

现在有限元方法的发展趋势是集成化、通用化、输入智能化和结构输出可视化。所谓集成化是一个有限元程序包往往包括了各种各样的单元（即单元库），并包括了许多材料的本构关系（即材料库），使用者可以根据需要选择和组合；通用化是一个通用程序同时又解决静力分析、动力分析、热传导、电场等各种问题的模块；输入智能化、图形化是计算机辅助输入，只要输入轮廓边界的关键点及计算所需节点数和单元类型，即可自动进行单元网格划分，并且其结果以图形方法表达出来。这样可以快捷，直观且易于发现错误而及时改正；输出结果可视化是计算所得的应力场、位移场、流态场等均可用多方位，多层次的图形或图像表示出来，非常直观，便于分析判断，有些学者称之为仿真或数值分析。

有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：

（1） 物体离散化

将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。

（2） 单元特性分析

　　A、选择位移模式

　　在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。

当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，我们将位移表示为坐标变量的简单函数。

B、分析单元的力学性质

　　根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。

C、计算等效节点力

物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。

（3） 单元组集

利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程

（4） 求解未知节点位移

　　解有限元方程式得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。

　　通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是"一分一合"，分是为了就进行单元分析，合则为了对整体结构进行综合分析。

　　有限元的发展概况

　　1943年 courant在论文中取定义在三角形域上分片连续函数，利用最小势能原理研究St.Venant的扭转问题。

　　1960年 clough的平面弹性论文中用“有限元法”这个名称。

　　1965年 冯康发表了论文“基于变分原理的差分格式”，这篇论文是国际学术界承认我国独立发展有限元方法的主要依据。

　　1970年 随着计算机和软件的发展，有限元发展起来。

　　涉及的内容：有限元所依据的理论，单元的划分原则，形状函数的选取及协调性。

　　有限元法涉及：数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性。

　　应用范围：固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学

求解的情况：杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）。能求解各类场分布问题（流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题），水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。

 

***********************2012/6/22**************************

经典书籍：

 

1.《The Finite Element Method》O.C.Zienkiewicz，R.Taylor著，第五版，三卷本，有中文译本《有限元法》(英)监凯维奇著（第四版中译本1985年出版，上下册，尹泽勇等译，权威著作，有限元研究者必读；第五版译名改成了《有限单元法》，庄茁译，2006年出版

2.《Nonlinear Finite Element for Continua and Structures》T.Belytschko等著，有中文译本

   《连续体和结构的非线性有限元》庄茁译，清华大学出版社，固体力学非线性有限元的集大成之作~~

3. 《Concepts and Applications of Finite Element Analysis》Cook R.D.著，有中文译本

    《有限元分析的概念和应用》程耿东等译，第一版1981年出版，第二版1989年出版，年代较久远内容很经典~~

4.《Finite Element Procedures in Engineering Mechanics》K.J.Bathe著

     另一本有限元方法的经典教材，书中内容全面，实例丰富~~

5.《Finite Element in Plasticity》D.R.J. Owen，E.Hinton著

     该书侧重于介绍各类弹塑性问题的有限元方法~~

6.《Nonlinear Finite Element Analysis of Solids and Structures》M.A.Crisfield著，两卷本

     全面系统介绍非线性有限元分析的著作。Crisfield教授另有一本著作是《Finite elements and solution procedures for structural analysis》，其中介绍了线性分析的内容~~

7.《Computational Inelasticity》J.C.Simo等著

     一位英年早逝的天才学者的著作，研究成果独具特色，深得学术界的肯定~~

PS：国内的有限元书籍中，比较全面的是王勖成的《有限单元法》（第三版），该书的第二版叫做《有限单元法基本原理和数值方法》。