复分析可视化方法：笔记：解析拓展

为了得到一个函数对某区域的解析拓展，一个办法是将该函数对区域的一段边界作映射。

第一步：

上式中，等式左边是新构造出的解析函数，其定义域P*是原解析函数定义域P对实轴的反射。我们首先对P*中的数z取共轭得到z*，z*必在P中。于是f(z*)必在Q中。因此对f(z*)再取共轭得到的f*(z)必在Q*中。

当然，上述文字中的P与P*即使有交集，我们也不能就说f*(z)是f(z)的解析拓展；因为在P和P*相交的区域内，f(z)和f*(z)未必相等。但是在特定情况下，f*(z)确实可以成为f(z)的解析拓展。让我们继续。

第二步：

上述情况中的实轴可以推广为一般直线——

第三步：

如果f不是将直线映射为直线，而是将圆周映射为实轴会怎样？

第四步：

上式中，待映射的函数f⁺(z)定义在圆周外；于是1/z在圆周内。假定f(1/z)将1/z映射到上半平面，那么f(1/z)的共轭[f(1/z)]*就在下半平面。这样，z和1/z关于圆周对称，而f(z)和f⁺(z)关于实轴对称。

第五步：

“z越过K的反射”是指z关于K的对称点。