常用拉普拉斯变换及其性质和证明
1. 基本函数的拉普拉斯变换
| 原函数 f ( t ) f(t) f(t) | 拉普拉斯变换 F ( s ) F(s) F(s) | 定义域 |
|---|---|---|
| 1 1 1 | 1 s \frac{1}{s} s1 | s > 0 s > 0 s>0 |
| t t t | 1 s 2 \frac{1}{s^2} s21 | s > 0 s > 0 s>0 |
| t n ( n 为整数 ) t^n \ (n \text{为整数}) tn (n为整数) | n ! s n + 1 \frac{n!}{s^{n+1}} sn+1n! | s > 0 s > 0 s>0 |
| e a t e^{at} eat | 1 s − a \frac{1}{s-a} s−a1 | s > a s > a s>a |
| t e a t t e^{at} teat | 1 ( s − a ) 2 \frac{1}{(s-a)^2} (s−a)21 | s > a s > a s>a |
| t n e a t ( n 为整数 ) t^n e^{at} \ (n \text{为整数}) tneat (n为整数) | n ! ( s − a ) n + 1 \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} (s−a)n+1n! | s > a s > a s>a |
| sin ( ω t ) \sin(\omega t) sin(ωt) | ω s 2 + ω 2 \frac{\omega}{s^2+\omega^2} s2+ω2ω | s > 0 s > 0 s>0 |
| cos ( ω t ) \cos(\omega t) cos(ωt) | s s 2 + ω 2 \frac{s}{s^2+\omega^2} s2+ω2s | s > 0 s > 0 s>0 |
| e a t sin ( ω t ) e^{at}\sin(\omega t) eatsin(ωt) | ω ( s − a ) 2 + ω 2 \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2} (s−a)2+ω2ω | s > a s > a s>a |
| e a t cos ( ω t ) e^{at}\cos(\omega t) eatcos(ωt) | s − a ( s − a ) 2 + ω 2 \frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2} (s−a)2+ω2s−a | s > a s > a s>a |
| δ ( t ) \delta(t) δ(t) | 1 1 1 | s > 0 s > 0 s>0 |
| u ( t ) ( 单位阶跃函数 ) u(t) \ (\text{单位阶跃函数}) u(t) (单位阶跃函数) | 1 s \frac{1}{s} s1 | s > 0 s > 0 s>0 |
2. 常用性质
（1）线性性质
L { a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) } = a F 1 ( s ) + b F 2 ( s ) \mathcal{L}\{a f_1(t) + b f_2(t)\} = a F_1(s) + b F_2(s) L{af1(t)+bf2(t)}=aF1(s)+bF2(s)
（2）延时性质
若 f ( t ) → L F ( s ) f(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} F(s) f(t)LF(s)，则
f ( t − τ ) u ( t − τ ) → L e − τ s F ( s ) f(t-\tau)u(t-\tau) \xrightarrow{\mathcal{L}} e^{-\tau s}F(s) f(t−τ)u(t−τ)Le−τsF(s)
（3）导数性质
- f ′ ( t ) → L s F ( s ) − f ( 0 + ) f'(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} sF(s) - f(0^+) f′(t)LsF(s)−f(0+)
- f ′ ′ ( t ) → L s 2 F ( s ) − s f ( 0 + ) − f ′ ( 0 + ) f''(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} s^2F(s) - sf(0^+) - f'(0^+) f′′(t)Ls2F(s)−sf(0+)−f′(0+)
（4）积分性质
∫ 0 t f ( τ ) d τ → L F ( s ) s \int_{0}^{t} f(\tau) d\tau \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{F(s)}{s} ∫0tf(τ)dτLsF(s)
（5）卷积性质
若 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) 和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t) 的卷积定义为：
f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ 0 t f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ f_1(t) * f_2(t) = \int_{0}^{t} f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau f1(t)∗f2(t)=∫0tf1(τ)f2(t−τ)dτ
则拉普拉斯变换为：
L { f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) } = F 1 ( s ) F 2 ( s ) \mathcal{L}\{f_1(t) * f_2(t)\} = F_1(s)F_2(s) L{f1(t)∗f2(t)}=F1(s)F2(s)
（6）频移性质
e a t f ( t ) → L F ( s − a ) e^{at}f(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} F(s-a) eatf(t)LF(s−a)
（7）初值与终值定理
- 初值定理：
f ( 0 + ) = lim s → ∞ s F ( s ) f(0^+) = \lim_{s \to \infty} sF(s) f(0+)=s→∞limsF(s) - 终值定理：
f ( ∞ ) = lim s → 0 s F ( s ) f(\infty) = \lim_{s \to 0} sF(s) f(∞)=s→0limsF(s)
3. 特殊函数的拉普拉斯变换
| 原函数 f ( t ) f(t) f(t) | 拉普拉斯变换 F ( s ) F(s) F(s) |
|---|---|
| 矩形脉冲 ( u ( t ) − u ( t − T ) ) \text{矩形脉冲}(u(t) - u(t-T)) 矩形脉冲(u(t)−u(t−T)) | 1 − e − T s s \frac{1 - e^{-Ts}}{s} s1−e−Ts |
| t ⋅ u ( t ) t \cdot u(t) t⋅u(t) | 1 s 2 \frac{1}{s^2} s21 |
| 1 t ( t > 0 ) \frac{1}{t} \ (t > 0) t1 (t>0) | ln ( s ) \ln(s) ln(s) |
4. 一些基本证明
拉普拉斯变换的定义
L { f ( t ) } = F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt L{f(t)}=F(s)=∫0∞f(t)e−stdt
1. 线性性质证明
如果 f 1 ( t ) → L F 1 ( s ) f_1(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} F_1(s) f1(t)LF1(s)，且 f 2 ( t ) → L F 2 ( s ) f_2(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} F_2(s) f2(t)LF2(s)，则对于任意常数 a a a 和 b b b：
L { a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) } = ∫ 0 ∞ [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) ] e − s t d t \mathcal{L}\{a f_1(t) + b f_2(t)\} = \int_{0}^{\infty} \left[ a f_1(t) + b f_2(t) \right] e^{-st} \, dt L{af1(t)+bf2(t)}=∫0∞[af1(t)+bf2(t)]e−stdt
将积分拆分：
= a ∫ 0 ∞ f 1 ( t ) e − s t d t + b ∫ 0 ∞ f 2 ( t ) e − s t d t = a \int_{0}^{\infty} f_1(t) e^{-st} \, dt + b \int_{0}^{\infty} f_2(t) e^{-st} \, dt =a∫0∞f1(t)e−stdt+b∫0∞f2(t)e−stdt
根据定义：
= a F 1 ( s ) + b F 2 ( s ) = a F_1(s) + b F_2(s) =aF1(s)+bF2(s)
因此，线性性质成立。
2. 延时性质证明
设 g ( t ) = f ( t − τ ) u ( t − τ ) g(t) = f(t-\tau)u(t-\tau) g(t)=f(t−τ)u(t−τ)，其拉普拉斯变换为：
L { g ( t ) } = ∫ 0 ∞ g ( t ) e − s t d t = ∫ 0 ∞ f ( t − τ ) u ( t − τ ) e − s t d t \mathcal{L}\{g(t)\} = \int_{0}^{\infty} g(t) e^{-st} \, dt = \int_{0}^{\infty} f(t-\tau) u(t-\tau) e^{-st} \, dt L{g(t)}=∫0∞g(t)e−stdt=∫0∞f(t−τ)u(t−τ)e−stdt
因为 u ( t − τ ) = 0 u(t-\tau) = 0 u(t−τ)=0 当 t < τ t < \tau t<τ，所以积分下限可以改为 τ \tau τ：
= ∫ τ ∞ f ( t − τ ) e − s t d t = \int_{\tau}^{\infty} f(t-\tau) e^{-st} \, dt =∫τ∞f(t−τ)e−stdt
令 t ′ = t − τ t' = t - \tau t′=t−τ，则 d t = d t ′ dt = dt' dt=dt′，且当 t = τ t = \tau t=τ 时， t ′ = 0 t' = 0 t′=0；当 t → ∞ t \to \infty t→∞ 时， t ′ → ∞ t' \to \infty t′→∞：
= ∫ 0 ∞ f ( t ′ ) e − s ( t ′ + τ ) d t ′ = \int_{0}^{\infty} f(t') e^{-s(t'+\tau)} \, dt' =∫0∞f(t′)e−s(t′+τ)dt′
将 e − s τ e^{-s\tau} e−sτ 提取出来：
= e − s τ ∫ 0 ∞ f ( t ′ ) e − s t ′ d t ′ = e^{-s\tau} \int_{0}^{\infty} f(t') e^{-st'} \, dt' =e−sτ∫0∞f(t′)e−st′dt′
根据定义：
= e − s τ F ( s ) = e^{-s\tau} F(s) =e−sτF(s)
因此，延时性质成立。
3. 导数性质证明
设 f ′ ( t ) f'(t) f′(t) 的拉普拉斯变换为：
L { f ′ ( t ) } = ∫ 0 ∞ f ′ ( t ) e − s t d t \mathcal{L}\{f'(t)\} = \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st} \, dt L{f′(t)}=∫0∞f′(t)e−stdt
对 f ( t ) e − s t f(t)e^{-st} f(t)e−st 使用分部积分：
令 u = e − s t u = e^{-st} u=e−st， d v = f ′ ( t ) d t dv = f'(t)dt dv=f′(t)dt，则 d u = − s e − s t d t du = -se^{-st}dt du=−se−stdt， v = f ( t ) v = f(t) v=f(t)：
∫ 0 ∞ f ′ ( t ) e − s t d t = [ f ( t ) e − s t ] 0 ∞ − ∫ 0 ∞ f ( t ) ( − s e − s t ) d t \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st} \, dt = \left[ f(t)e^{-st} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} f(t)(-se^{-st}) \, dt ∫0∞f′(t)e−stdt=[f(t)e−st]0∞−∫0∞f(t)(−se−st)dt
边界条件：
- 当 t → ∞ t \to \infty t→∞，若 f ( t ) f(t) f(t) 增长缓慢（指数衰减），则 f ( t ) e − s t → 0 f(t)e^{-st} \to 0 f(t)e−st→0；
- 当 t = 0 t = 0 t=0， f ( t ) e − s t → f ( 0 + ) f(t)e^{-st} \to f(0^+) f(t)e−st→f(0+)。
因此：
∫ 0 ∞ f ′ ( t ) e − s t d t = − f ( 0 + ) + s ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st} \, dt = -f(0^+) + s \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt ∫0∞f′(t)e−stdt=−f(0+)+s∫0∞f(t)e−stdt
根据定义：
L { f ′ ( t ) } = s F ( s ) − f ( 0 + ) \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^+) L{f′(t)}=sF(s)−f(0+)
4. 卷积性质证明
设 h ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ 0 t f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ h(t) = f_1(t) * f_2(t) = \int_{0}^{t} f_1(\tau)f_2(t-\tau) \, d\tau h(t)=f1(t)∗f2(t)=∫0tf1(τ)f2(t−τ)dτ，求 h ( t ) h(t) h(t) 的拉普拉斯变换：
L { h ( t ) } = ∫ 0 ∞ h ( t ) e − s t d t = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 t f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ ) e − s t d t \mathcal{L}\{h(t)\} = \int_{0}^{\infty} h(t)e^{-st} \, dt = \int_{0}^{\infty} \left( \int_{0}^{t} f_1(\tau)f_2(t-\tau) \, d\tau \right) e^{-st} \, dt L{h(t)}=∫0∞h(t)e−stdt=∫0∞(∫0tf1(τ)f2(t−τ)dτ)e−stdt
交换积分顺序（Fubini 定理）：
= ∫ 0 ∞ ∫ τ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) e − s t d t d τ = \int_{0}^{\infty} \int_{\tau}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)e^{-st} \, dt \, d\tau =∫0∞∫τ∞f1(τ)f2(t−τ)e−stdtdτ
令 t ′ = t − τ t' = t - \tau t′=t−τ，则 d t = d t ′ dt = dt' dt=dt′，且 t = τ t = \tau t=τ 时， t ′ = 0 t' = 0 t′=0，当 t → ∞ t \to \infty t→∞ 时， t ′ → ∞ t' \to \infty t′→∞：
= ∫ 0 ∞ f 1 ( τ ) ( ∫ 0 ∞ f 2 ( t ′ ) e − s ( t ′ + τ ) d t ′ ) d τ = \int_{0}^{\infty} f_1(\tau) \left( \int_{0}^{\infty} f_2(t') e^{-s(t'+\tau)} \, dt' \right) d\tau =∫0∞f1(τ)(∫0∞f2(t′)e−s(t′+τ)dt′)dτ
将 e − s τ e^{-s\tau} e−sτ 提取到外部：
= ∫ 0 ∞ f 1 ( τ ) e − s τ ( ∫ 0 ∞ f 2 ( t ′ ) e − s t ′ d t ′ ) d τ = \int_{0}^{\infty} f_1(\tau)e^{-s\tau} \left( \int_{0}^{\infty} f_2(t')e^{-st'} \, dt' \right) d\tau =∫0∞f1(τ)e−sτ(∫0∞f2(t′)e−st′dt′)dτ
根据定义：
= F 1 ( s ) F 2 ( s ) = F_1(s)F_2(s) =F1(s)F2(s)
因此，卷积性质成立。
MATLAB编写拉氏变换代码
% 确保你已经加载了 Symbolic Math Toolbox
syms t s a omega;
% 定义一个符号函数 f(t)
f1 = 1; % f(t) = 1
f2 = t; % f(t) = t
f3 = exp(a*t); % f(t) = e^(a*t)
f4 = sin(omega*t); % f(t) = sin(ωt)
f5 = cos(omega*t); % f(t) = cos(ωt)
% 计算各个函数的拉普拉斯变换
F1 = laplace(f1, t, s); % 拉普拉斯变换 f1(t) = 1
F2 = laplace(f2, t, s); % 拉普拉斯变换 f2(t) = t
F3 = laplace(f3, t, s); % 拉普拉斯变换 f3(t) = e^(a*t)
F4 = laplace(f4, t, s); % 拉普拉斯变换 f4(t) = sin(ωt)
F5 = laplace(f5, t, s); % 拉普拉斯变换 f5(t) = cos(ωt)
% 输出结果
disp('Laplace Transform of f1(t) = 1:');
disp(F1);
disp('Laplace Transform of f2(t) = t:');
disp(F2);
disp('Laplace Transform of f3(t) = e^(a*t):');
disp(F3);
disp('Laplace Transform of f4(t) = sin(ω*t):');
disp(F4);
disp('Laplace Transform of f5(t) = cos(ω*t):');
disp(F5);
运行结果为：
Laplace Transform of f1(t) = 1:
1/s
Laplace Transform of f2(t) = t:
1/s^2
Laplace Transform of f3(t) = e^(a*t):
1/(s-a)
Laplace Transform of f4(t) = sin(ω*t):
ω/(s^2 + ω^2)
Laplace Transform of f5(t) = cos(ω*t):
s/(s^2 + ω^2)