相关性分析——斯皮尔曼相关性分析

斯皮尔曼相关系数（Spearman Correlation Coefficient）

一、斯皮尔曼相关性分析的起源

斯皮尔曼相关性分析由英国心理学家查尔斯·斯皮尔曼（Charles Spearman）于1904年提出。他在研究智力测验时发现，智力测验的结果往往存在一定的相关性，但这些相关性并不总是线性的。因此，斯皮尔曼提出了一种基于排名的非参数方法，以更好地评估变量间的相关性。

二、斯皮尔曼相关性分析的原理

斯皮尔曼相关系数（Spearman’s rho）通过计算变量排名之间的相关性来评估变量间的关系。其计算公式为：

$\rho =1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}$

其中，$d_i$ 是每对变量排名差值，$n$ 是样本数量。

三、斯皮尔曼相关性分析的步骤

1. 数据准备：收集并整理需要分析的变量数据。
2. 排名转换：将每个变量的数据转换为排名。
3. 计算排名差值：对每一对变量排名计算其差值。
4. 计算相关系数：使用上面的公式计算斯皮尔曼相关系数。

四、应用场景

斯皮尔曼相关性分析广泛应用于各种场景，特别是在以下情况下：

• 数据不符合正态分布
• 数据存在显著的异常值
• 变量之间的关系可能是非线性的

五、案例分析

假设我们有一组数据，包含若干人的身高、体重、和每周运动时间，我们希望通过斯皮尔曼相关性分析来评估这些变量之间的关系。数据如下：

人    身高（cm）  体重（kg）  每周运动时间（小时）
A     175         70         7
B     160         60         3
C     180         80         5
D     170         75         6
E     165         65         2

1. 数据准备：

   人    身高（cm）  体重（kg）  每周运动时间（小时）
   A     175         70         7
   B     160         60         3
   C     180         80         5
   D     170         75         6
   E     165         65         2
   

2. 排名转换：

   人    身高排名  体重排名  每周运动时间排名
   A     2         3         1
   B     5         5         4
   C     1         1         3
   D     3         2         2
   E     4         4         5
   

3. 计算排名差值和平方差：

   人    身高排名差值  体重排名差值  每周运动时间排名差值  差值平方和
   A     2-1=1         3-1=2           1-1=0                 1^2 + 2^2 + 0^2 = 5
   B     5-5=0         5-5=0           4-4=0                 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0
   C     1-2=-1        1-3=-2          3-1=2                 (-1)^2 + (-2)^2 + 2^2 = 9
   D     3-3=0         2-2=0           2-1=1                 0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
   E     4-4=0         4-4=0           5-5=0                 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0
   

4. 计算斯皮尔曼相关系数：

   对于每对变量，我们分别计算相关系数。例如，身高与体重的斯皮尔曼相关系数：

   ${\rho }_{身高,体重}=1-\frac{6\times 5}{5(25-1)}=0.75$

   类似地，我们可以计算其他变量对之间的斯皮尔曼相关系数。

六、Python代码示例

使用Python进行斯皮尔曼相关性分析，我们可以借助scipy库中的spearmanr函数：

import numpy as np
from scipy.stats import spearmanr

# 数据准备
height = [175, 160, 180, 170, 165]
weight = [70, 60, 80, 75, 65]
exercise_time = [7, 3, 5, 6, 2]

# 计算斯皮尔曼相关系数
corr_height_weight, _ = spearmanr(height, weight)
corr_height_exercise, _ = spearmanr(height, exercise_time)
corr_weight_exercise, _ = spearmanr(weight, exercise_time)

print(f"身高与体重的斯皮尔曼相关系数: {corr_height_weight}")
print(f"身高与每周运动时间的斯皮尔曼相关系数: {corr_height_exercise}")
print(f"体重与每周运动时间的斯皮尔曼相关系数: {corr_weight_exercise}")

七、R代码示例

使用R进行斯皮尔曼相关性分析，可以使用cor函数并指定方法为spearman：

# 数据准备
height <- c(175, 160, 180, 170, 165)
weight <- c(70, 60, 80, 75, 65)
exercise_time <- c(7, 3, 5, 6, 2)

# 计算斯皮尔曼相关系数
corr_height_weight <- cor(height, weight, method = "spearman")
corr_height_exercise <- cor(height, exercise_time, method = "spearman")
corr_weight_exercise <- cor(weight, exercise_time, method = "spearman")

print(paste("身高与体重的斯皮尔曼相关系数:", corr_height_weight))
print(paste("身高与每周运动时间的斯皮尔曼相关系数:", corr_height_exercise))
print(paste("体重与每周运动时间的斯皮尔曼相关系数:", corr_weight_exercise))

八、注意事项

• 斯皮尔曼相关系数的取值范围为-1到1，正值表示正相关，负值表示负相关，0表示无相关。
• 数据中的异常值和重复值会影响排名结果，从而影响斯皮尔曼相关系数的计算。

九、总结

斯皮尔曼相关性分析是一种灵活且有效的统计方法，特别适用于非正态分布或存在异常值的数据。通过对排名的分析，它能有效揭示变量间的相关关系，为研究和决策提供有力支持。

---