欧几里德算法（辗转相处算法：最大公约数算法）

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

  

欧几里得

　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　a % d == 0 , b % d == 0，而r = a - kb，因此 r % d == 0 

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　b % d == 0 , r % d == 0 ，但是a = kb +r  所以 a % d == 0

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的.

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| GCD 最大公约数

\*==================================================*/

int gcd(int x, int y)

{

     if (!x || !y) return x > y ? x : y;



     for (int t; t = x % y; x = y, y = t);

    

     return y;

}

}

/*==================================================*\

| 快速 GCD

\*==================================================*/

int kgcd(int a, int b)

{

	if (a == 0) return b;

	if (b == 0) return a;

	if (!(a & 1) && !(b & 1)) 

		return kgcd(a>>1, b>>1) << 1;

	else if (!(b & 1)) 

		return kgcd(a, b>>1);

	else if (!(a & 1)) 

		return kgcd(a>>1, b);

	else return 

		kgcd(abs(a - b), min(a, b));

}

/*==================================================*\

| 扩展 GCD

| 求x, y使得gcd(a, b) = a * x + b * y;

\*==================================================*/

int extgcd(int a, int b, int & x, int & y)

{

	if (b == 0) 

	{ 

		x=1; y=0; 

		return a; 

	}

	int d = extgcd(b, a % b, x, y);

	

	int t = x; x = y; y = t - a / b * y;

	

	return d;

}