鸡蛋掉落-两枚鸡蛋（从记忆化搜索到动态规划）
题目
给你 2 枚相同 的鸡蛋，和一栋从第 1 层到第 n 层共有 n 层楼的建筑。
已知存在楼层 f ，满足 0 <= f <= n ，任何从 高于 f 的楼层落下的鸡蛋都 会碎 ，从 f 楼层或比它低 的楼层落下的鸡蛋都 不会碎 。
每次操作，你可以取一枚 没有碎 的鸡蛋并把它从任一楼层 x 扔下（满足 1 <= x <= n）。如果鸡蛋碎了，你就不能再次使用它。如果某枚鸡蛋扔下后没有摔碎，则可以在之后的操作中 重复使用 这枚鸡蛋。
请你计算并返回要确定 f 确切的值 的 最小操作次数 是多少？
示例 1：
输入：n = 2 输出：2 解释：我们可以将第一枚鸡蛋从 1 楼扔下，然后将第二枚从 2 楼扔下。 如果第一枚鸡蛋碎了，可知 f = 0； 如果第二枚鸡蛋碎了，但第一枚没碎，可知 f = 1； 否则，当两个鸡蛋都没碎时，可知 f = 2。
示例 2：
输入：n = 100 输出：14 解释： 一种最优的策略是： - 将第一枚鸡蛋从 9 楼扔下。如果碎了，那么 f 在 0 和 8 之间。将第二枚从 1 楼扔下，然后每扔一次上一层楼，在 8 次内找到 f 。总操作次数 = 1 + 8 = 9 。 - 如果第一枚鸡蛋没有碎，那么再把第一枚鸡蛋从 22 层扔下。如果碎了，那么 f 在 9 和 21 之间。将第二枚鸡蛋从 10 楼扔下，然后每扔一次上一层楼，在 12 次内找到 f 。总操作次数 = 2 + 12 = 14 。 - 如果第一枚鸡蛋没有再次碎掉，则按照类似的方法从 34, 45, 55, 64, 72, 79, 85, 90, 94, 97, 99 和 100 楼分别扔下第一枚鸡蛋。 不管结果如何，最多需要扔 14 次来确定 f
（题目来自Leetcode 1884 鸡蛋掉落-两枚鸡蛋. - 力扣（LeetCode））
解题分析
思路
我们创建一个数组dp[ i ]，表示当有 i 层楼时所需的最小操作数。
假设我们在第 j 层扔下第一颗鸡蛋，（其中1<=j<=i）此时将会出现两种情况：鸡蛋碎 / 鸡蛋没有碎。接下来我们分别分析这两种情况：
若鸡蛋碎，则所求楼层 f 在1~i - 1层。由于仅剩一枚鸡蛋，为确保我们能找到 f，我们必须从最低层（第 1 层）开始扔。最坏的情况是，假设所求 f 层在第 i-1 层，那么我们便要操作 i-1 次（按序把1~i-1层都仍一次），加上我们最先扔的第一颗鸡蛋，扔 i 次能保证我们一定能找出 f 层。
若鸡蛋没有碎，则所求楼层 f 在 j + 1~ i 层。此时我们仍有两颗鸡蛋。重点来了：从 j + 1~ i 层一共有 i - j 层，我们可以把找出第 j + 1~ i 层中的 f 层的问题，转化成当有 i - j 层楼时所需的最小操作数。回顾我们dp数组的定义，我们便能发现当有 i - j 层楼时的最小操作数位 dp[ i - j ]。在dp[ i - j]的基础上加上第一次扔鸡蛋，我们仅需要 dp[ i - j ] +1次操作，就能保证我们一定能找出 f 层。
分析完两种可能，我们便能求出当有i层时，在第j层扔下第一颗鸡蛋，需要多少次操作才能找到 f 。综合考虑两种情况，由于 我们要保证一定能找到 f 层，所有我们要取两种情况的最大值，也就是max(i,dp[i-j]+1)。我们把它设为x。
当仅有 i 层时，在不同楼层扔下第一颗鸡蛋，所得到的操作数也有所不同。此时我们需要遍历楼层 j ，找到保证得出答案的情况下操作数最小的情况。
得出：dp[ i ] = min ( max( i , dp[ i - j ] +1), dp[ i ] );
dp数组的初始化
dp[0] = 0;
dp[ 其他 ] = INT_MAX;
返回值
dp[ n ]
Coding
1.记忆化搜索
class Solution {
public:
int dp[1001];
int twoEggDrop(int n) {
if(n==0)return 0; ///有0层楼时，操作数为0
if(dp[n])return dp[n]; ///有n层楼时，若dp已记录了此时的最小操作数，直接返回
dp[n]=INT_MAX;
for(int i=1;i<=n;i++){ ///若dp[ n ]未被记录，计算dp [ n ]
int x=max(i,1+twoEggDrop(n-i));
dp[n]=min(dp[n],x);
}
return dp[n];
}
};
2.动态规划
动态规划就是记忆化搜索的改良。将递归改为循环，将函数改为数组。
class Solution {
public:
int twoEggDrop(int n) {
vectordp(n+1,INT_MAX);
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){ ///i表示有i层楼
for(int j=1;j<=i;j++){ ///j表示第一颗鸡蛋在第j层落下
int temp=max(j,1+dp[i-j]);
dp[i]=min(dp[i],temp);
}
}
return dp[n];
}
}; 
3.其他方法：数学方法
通过官解给的样例（2）找规律。
“9，22， 34, 45, 55, 64, 72, 79, 85, 90, 94, 97, 99 和 100 楼分别扔下第一枚鸡蛋。”
34, 45, 55, 64, 72, 79, 85, 90, 94, 97, 99 和 100中，
100-99=1
99-97=2
97-94=3
……
22-9=13
那么9前应该是9-14=-5，这层楼显然不存在，作为循环结束的标志。
于是我们找到规律。
class Solution {
public:
int twoEggDrop(int n) {
if(n==1)return 1;
int cnt=0;
int x=1;
do{
cnt++;
n-=x;
x++;
}while(n>0);
return cnt;
}
};