洛谷[NOIP 2016 提高组] 组合数问题

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题目背景

NOIP2016 提高组 D2T1

题目描述

组合数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ 表示的是从 $n$ 个物品中选出 $m$ 个物品的方案数。举个例子，从 $(1,2,3)$ 三个物品中选择两个物品可以有 $(1,2),(1,3),(2,3)$ 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ 的一般公式：

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

其中 $n!=1\times 2\times \cdots \times n$；特别地，定义 $0!=1$。

小葱想知道如果给定 $n,m$ 和 $k$，对于所有的 $0\le i\le n,0\le j\le \min \left(i,m\right)$ 有多少对 $(i,j)$ 满足 $k\mid \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)$。

输入格式

第一行有两个整数 $t,k$，其中 $t$ 代表该测试点总共有多少组测试数据，$k$ 的意义见问题描述。

接下来 $t$ 行每行两个整数 $n,m$，其中 $n,m$ 的意义见问题描述。

输出格式

共 $t$ 行，每行一个整数代表所有的 $0\le i\le n,0\le j\le \min \left(i,m\right)$ 中有多少对 $(i,j)$ 满足 $k\mid \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)$。

样例 #1

样例输入 #1

1 2
3 3

样例输出 #1

1

样例 #2

样例输入 #2

2 5
4 5
6 7

样例输出 #2

0
7

提示

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)=2$ 一种情况是 $2$ 的倍数。

【子任务】

• 对于全部的测试点，保证 $0\le n,m\le 2\times 10^3$，$1\le t\le 10^4$。

题目分析：这道题暴力算的话会超时，方法描述：对于每组测试数据
(n,m)遍历所有可能的 (i,j)，计算组合数 (i，j)，并判断是否能被 k 整除。每次查询都需要重新遍历和计算。
时间复杂度：
对于每组测试数据，需要遍历 O(n×m)对于(i,j)。如果有 t 组测试数据，总时间复杂度为：O
（t×n×m)对于 题目数据超时了，查询部分时间复杂度过高。一个很容易想到的优化便是：在预处理时，同时预处理出每个 n , m 对应的答案，将查询部分优化到 O ( 1 ) ，用到了二维前缀和

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2010;
int t,n,k,m;
ll a[N][N],c[N][N];
 
void Init()
{
	c[0][0] = c[1][0] = c[1][1] = 1;
	
	for(int i = 2; i <= 2000; i++)
	{
		c[i][0] = 1;
		for(int j = 1; j <= i; j++)
		{
			c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1]) % k;
			a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1] - a[i-1][j-1];
			if(!c[i][j]) a[i][j] ++;
		}
		a[i][i + 1] = a[i][i];
	}
}
ll read()
{
	ll s=0,f=1;
	char ch=getchar();
	
	while (ch<'0'||ch>'9')
	{
   	   if (ch=='-') f=-1;
	   ch=getchar();
	}
	while (ch>='0'&&ch<='9')
	{
	   s=s*10+ch-'0';
	   ch=getchar();
	}
	return s*f;
}

void sol()
{
   n = read(),m = read();
   if(m > n) cout<

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