机器学习数学基础：2.连续性与导数

函数连续性、瞬时速度、导数相关知识

一、函数连续性

（一）函数在某点连续的条件

• 有定义：函数在点$x_0$处要有明确、确定的值$f(x_0)$。例如，$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处无定义，不满足此条件，所以在$x=0$处不连续。
• 极限存在：当$x$从$x_0$左侧（$x\to x_0^{-}$）和右侧（$x\to x_0^{+}$）趋近于$x_0$时，函数$f(x)$的极限值都存在且相等。如$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<0\\ 0,& x=0\\ x-1,& x>0\end{array}$，$x\to 0^{-}$时，${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=1$；$x\to 0^{+}$时，${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-1$，左右极限不等，${\lim }_{x\to 0}f(x)$不存在，该函数在$x=0$处不连续。
• 极限值等于函数值：即便函数在点$x_0$处有定义且极限存在，但极限值不等于该点函数值，函数在该点也不连续。比如$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1},& x\ne 1\\ 0,& x=1\end{array}$，当$x\ne 1$时，$f(x)=x+1$，${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$，而$f(1)=0$，极限值与函数值不同，所以函数在$x=1$处不连续。只有同时满足这三个条件，函数在点$x_0$处才连续。

（二）间断点

• 定义：函数$f(x)$在点$x=x_0$处不连续，则称$x_0$为函数的间断点。

二、瞬时速度

（一）平均速度

速度$v=\frac{s(\text{路程})}{t(\text{时间})}$，这是我们熟知的平均速度计算公式，表示在一段时间内物体移动的路程与所用时间的比值。例如，一辆汽车在$2$小时内行驶了$100$公里，那么它的平均速度就是$v=\frac{100}{2}=50$公里/小时，这意味着在这$2$小时的整个过程中，汽车平均每小时行驶$50$公里。

（二）瞬时经过路程

$\Delta s=s(t_0+\Delta t)-s(t_0)$。这里的$s(t)$表示物体在时刻$t$的路程，$t_0$是一个特定的时刻，$\Delta t$是一个很小的时间间隔。这个公式的含义是，在从时刻$t_0$开始经过$\Delta t$这么一小段时间后，物体所经过的路程变化量就是$\Delta s$。比如，一个物体的路程函数是$s(t)=t^2$，在$t_0=2$秒时，经过$\Delta t=0.1$秒，那么$\Delta s=s(2+0.1)-s(2)=(2+0.1{)}^2-2^2=0.41$米，这就是在这$0.1$秒内物体经过的路程。

（三）这一小段的平均速度

$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$。它是用刚才计算出的路程变化量$\Delta s$除以对应的时间间隔$\Delta t$，得到的就是在这一小段时间$\Delta t$内的平均速度。还是以上面物体路程函数$s(t)=t^2$为例，当$t_0=2$秒，$\Delta t=0.1$秒时，$\overline{v}=\frac{0.41}{0.1}=4.1$米/秒，这就是在$2$秒到$2.1$秒这一小段时间内的平均速度。

（四）瞬时速度

当$\Delta t\to 0$时，刚才计算的这一小段的平均速度$\overline{v}$就趋近于瞬时速度了，即$v(t_0)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\overline{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$。这是因为瞬时速度是指物体在某一时刻的速度，当我们把时间间隔$\Delta t$取得越来越小，小到趋近于$0$时，此时计算出的平均速度就可以近似看作是该时刻的瞬时速度。比如，对于自由落体运动，路程函数$s(t)=\frac{1}{2}g{t}^2$（$g$是重力加速度），要计算$t=3$秒时的瞬时速度，就可以通过这个极限公式来计算，随着$\Delta t$趋近于$0$，就能得到准确的瞬时速度值。

三、导数

（一）导数的定义

设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义。当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$（$x_0+\Delta x$仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。

如果当$\Delta x$趋于$0$时，增量之比$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的极限存在，即左右极限都存在且相等，这里的左右极限指：

• 当$\Delta x$从大于$0$的方向趋近于$0$（记为$\Delta x\to 0^{+}$）时，$\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$存在；
• 当$\Delta x$从小于$0$的方向趋近于$0$（记为$\Delta x\to 0^{-}$）时，$\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$存在，并且这两个单侧极限相等。

那么就称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，这个极限值就称为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f^{\prime }(x_0)$，也就是$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。

（二）通俗理解

• 类比速度：可以把导数想象成开车时速度表上显示的瞬时速度，它能告诉我们在某一时刻车开得有多快。对于一般的函数$y=f(x)$，它的导数$f^{\prime }(x)$就表示当$x$变化一点点时，$y$变化的快慢程度。
• 函数图像上的体现：如果把函数$y=f(x)$的图像画出来，那么在某一点处的导数就是这一点处切线的斜率。比如说，对于函数$y=x^2$，它的图像是一个抛物线。在点$(1,1)$处，你可以想象在这个点上画一条切线，这条切线的倾斜程度（也就是斜率）就是函数在$x=1$处的导数。通过求导公式可以算出$y^{\prime }=2x$，所以在$x=1$时，导数$f^{\prime }(1)=2$，也就是说在点$(1,1)$处切线的斜率是$2$，这条切线是比较陡的。

（三）从平均变化率到导数

• 平均变化率：先看平均变化率，就像你走一段路，用走的路程除以花费的时间，得到的就是这段时间内的平均速度，这就是一种平均变化率。对于函数$y=f(x)$，从$x_0$到$x_0+\Delta x$，函数值从$f(x_0)$变到$f(x_0+\Delta x)$，那么$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$就是函数在区间$[x_0,x_0+\Delta x]$上的平均变化率。
• 趋近于导数：但是平均变化率只能反映一个区间上的大致变化情况。如果我们想知道在$x_0$这一个点上的变化快慢，那就得让这个区间变得非常非常小，也就是让$\Delta x$趋近于$0$。当$\Delta x$趋近于$0$时，这个平均变化率的极限$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$就是函数在$x_0$点的导数$f^{\prime }(x_0)$。这就好像你把时间间隔缩得极小极小，得到的就是某一瞬间的速度，也就是瞬时速度，而这个瞬时速度就是路程函数对时间的导数。

（四）正弦函数求导

• 和角公式：我们知道正弦函数的和角公式为：$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$。那么对于$\sin (x+\Delta x)$，这里$A=x$，$B=\Delta x$，所以$\sin (x+\Delta x)=\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x$。

• 求平均变化率：我们要求正弦函数的导数，根据导数的定义，先求平均变化率：$\frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\frac{(\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x)-\sin x}{\Delta x}$，将上式分子展开并整理可得：$\frac{\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x-\sin x}{\Delta x}=\frac{\sin x(\cos \Delta x-1)+\cos x\sin \Delta x}{\Delta x}$。

• 分析极限：当$\Delta x$趋近于$0$时：对于$\frac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}$，可以通过一些高等数学的方法（比如洛必达法则等）证明它趋近于$0$；而对于$\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}$，这是一个重要的极限，它趋近于$1$（在高等数学中有严格证明）。所以，当$\Delta x$趋近于$0$时，整个式子的极限就是：$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin x(\cos \Delta x-1)+\cos x\sin \Delta x}{\Delta x}=\sin x\times 0+\cos x\times 1=\cos x$，这就得到了$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$。

• 理解平均速度的几何意义：

  • 平均速度$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$，从几何角度看，$\Delta s=s(t_0+\Delta t)-s(t_0)$表示这两个点在纵坐标上的差值，即两点间的“高度差”。
  • $\Delta t$表示这两个点在横坐标上的差值，即两点间的“水平距离”。
  • 那么平均速度$\overline{v}$就等于连接这两个点$(t_0,s(t_0))$和$(t_0+\Delta t,s(t_0+\Delta t))$的直线的斜率。
  • 例如，对于函数$s(t)=t^2$，当$t_0=1$，$\Delta t=0.5$时，$s(1)=1$，$s(1+0.5)=2.25$。
  • 平均速度$\overline{v}=\frac{s(1+0.5)-s(1)}{0.5}=\frac{2.25-1}{0.5}=\frac{1.25}{0.5}=2.5$。
  • 在图像上，点$(1,1)$和$(1.5,2.25)$连线的斜率$k=\frac{2.25-1}{1.5-1}=\frac{1.25}{0.5}=2.5$，与计算出的平均速度相等。
  • 斜率描述了直线的倾斜程度，平均速度越大，这条连线就越陡峭，意味着在这段时间内物体运动得越快；平均速度越小，连线越平缓，物体运动得越慢。

（五）一元函数求导基本法则推导过程

（一）和差法则

• 内容：$[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$
• 推导过程：
  根据导数的定义$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$，对于$[u(x)+v(x)]$：
  $$\begin{array}{rl}& [u(x)+v(x){]}^{\prime }\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{[u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)]-[u(x)+v(x)]}{\Delta x}\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]+[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\\ =& u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)\end{array}$$
  同理，对于$[u(x)-v(x)]$：
  $$\begin{array}{rl}& [u(x)-v(x){]}^{\prime }\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{[u(x+\Delta x)-v(x+\Delta x)]-[u(x)-v(x)]}{\Delta x}\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]-[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\\ =& u^{\prime }(x)-v^{\prime }(x)\end{array}$$
  综上，得到和差法则$[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$。

（二）乘积法则

• 内容：$[u(x)\cdot v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

• 推导过程：
  根据导数定义$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$，对于$[u(x)\cdot v(x)]$：
  以下是乘积法则$[u(x)\cdot v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$更详细的推导过程：
  设$y=u(x)\cdot v(x)$，根据导数的定义，$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}$，将$y=u(x)\cdot v(x)$代入可得：
  $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x}\end{array}$$
  为了利用$u(x)$和$v(x)$的导数，我们对分子进行巧妙的变形，添加和减去$u(x)v(x+\Delta x)$，得到：
  $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\cdot (v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x}\end{array}$$
  将上式拆分为两项：
  $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))\cdot v(x+\Delta x)}{\Delta x}+\frac{u(x)\cdot (v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x}\right]\end{array}$$
  根据极限的四则运算法则，可进一步拆分为：
  $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))\cdot v(x+\Delta x)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x)\cdot (v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x}\end{array}$$
  当$\Delta x\to 0$时，$v(x+\Delta x)\to v(x)$，根据极限的乘法法则，可得到：
  $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }v(x+\Delta x)+u(x)\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x}\end{array}$$
  根据导数的定义，$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))}{\Delta x}=u^{\prime }(x)$，$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x}=v^{\prime }(x)$，且$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }v(x+\Delta x)=v(x)$，所以：
  $$y^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$$

• 这个推导过程的关键在于对$u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)$进行巧妙的变形，将其拆分成可以利用$u(x)$和$v(x)$的导数定义的形式。

• 通过添加和减去$u(x)v(x+\Delta x)$，我们把表达式转化为可以分别计算$u(x)$和$v(x)$的增量与$\Delta x$之比的极限的形式。

• 最后利用极限的四则运算法则，将复杂的极限拆分为两个相对简单的极限的和，从而得到乘积法则。

当$\Delta x\to 0$时，$v(x+\Delta x)\to v(x)$。

根据极限的四则运算法则，可得：

$$\begin{array}{rl}& [u(x)\cdot v(x){]}^{\prime }\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }v(x+\Delta x)+u(x)\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\\ =& u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)\end{array}$$

（三）商的法则

• 内容：${\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$（$v(x)\ne 0$）
• 推导过程：
  设$y=\frac{u(x)}{v(x)}=u(x)\cdot \frac{1}{v(x)}$，令$w(x)=\frac{1}{v(x)}$，则$y=u(x)\cdot w(x)$。

先对$w(x)=\frac{1}{v(x)}$求导，根据复合函数求导法则，设$t=v(x)$，则$w(x)=\frac{1}{t}$，$w^{\prime }(x)=\frac{dw}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{t^2}\cdot v^{\prime }(x)=-\frac{v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$。

再根据乘积法则对$y=u(x)\cdot w(x)$求导：

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =(u(x)\cdot w(x){)}^{\prime }\\ & =u^{\prime }(x)\cdot w(x)+u(x)\cdot w^{\prime }(x)\\ & =u^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{v(x)}+u(x)\cdot \left(-\frac{v^{\prime }(x)}{v^2(x)}\right)\\ & =\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}\end{array}$$

（六）求导的重要原因和用途

（一）分析函数的变化趋势

• 单调性判断：通过求导得到导函数，根据导函数的正负可以判断原函数的单调性。当导函数大于$0$时，原函数单调递增；当导函数小于$0$时，原函数单调递减。例如，对于函数$y=x^2$，其导数$y^{\prime }=2x$，当$x>0$时，$y^{\prime }>0$，函数单调递增；当$x<0$时，$y^{\prime }<0$，函数单调递减。
• 极值点确定：导数为$0$的点可能是函数的极值点。继续上面的例子，$y=x^2$，令$y^{\prime }=2x=0$，解得$x=0$，$x=0$就是函数的一个极值点，且为极小值点。

（二）优化问题求解

在实际应用中，很多问题都涉及到求最优解，比如成本最小化、利润最大化等。以生产某种产品为例，设总成本函数为$C(x)$，其中$x$表示产量。通过对$C(x)$求导，找到导数为$0$的点以及判断导数在该点两侧的正负变化，就能确定成本函数的最小值点，即最佳的生产产量，使得成本最低。同样，对于利润函数$P(x)$，求导分析可以帮助企业确定最佳的销售价格和产量组合，以实现利润最大化。

（三）物理意义

导数在物理学中有广泛的应用。如速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。已知物体的位移函数$s(t)$，对其求导可得速度函数$v(t)$，再对速度函数求导得到加速度函数$a(t)$。在研究物体的运动状态时，这些导数关系能帮助我们深入了解物体的运动特性，例如判断物体是加速、减速还是匀速运动，以及预测物体在未来某个时刻的位置、速度等状态。又如在电学中，电流是电荷量对时间的导数，通过对电荷量随时间变化的函数求导，可以分析电路中的电流变化情况，对电路设计和故障诊断等方面提供理论支持。

（四）曲线的切线与法线

已知函数$y=f(x)$，在某一点$(x_0,y_0)$处的导数$f^{\prime }(x_0)$就是曲线在该点处切线的斜率。根据直线的点斜式方程，可得切线方程为$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。而曲线在该点处的法线与切线垂直，根据两直线垂直斜率之积为$-1$，可知法线的斜率为$-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$（前提是$f^{\prime }(x_0)\ne 0$），进而可写出法线方程为$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$。这些切线和法线的知识在几何图形的分析、光学中的反射定律（光线反射时入射角与反射角的切线关系）等领域有着重要的应用。

（五）近似计算

利用导数可以进行近似计算。当$\Delta x$很小时，根据导数的定义有$\Delta y\approx f^{\prime }(x_0)\Delta x$，其中$f^{\prime }(x_0)$是函数$y=f(x)$在$x_0$处的导数。例如，已知$\sqrt{4}=2$，要求$\sqrt{4.02}$的近似值，设$f(x)=\sqrt{x}$，$x_0=4$，$\Delta x=0.02$，先求$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，则$f^{\prime }(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$，根据近似公式可得$\sqrt{4.02}\approx 2+\frac{1}{4}\times 0.02=2+0.005=2.005$。这种近似计算方法在工程计算、数值分析等领域，当对精度要求不是极高时，可以快速简便地得到近似结果，提高计算效率。

（七）常见函数求导公式的推导过程（部分）：

（一）常数函数$(C{)}^{\prime }=0$（$C$为常数）的推导

根据导数的定义$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$，对于常数函数$f(x)=C$，则$f(x+\Delta x)=C$。

所以$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{C-C}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }0=0$，即$(C{)}^{\prime }=0$。

（二）幂函数$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$（$n$为正整数）的推导（使用二项式定理）

设$y=x^n$，根据导数定义$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(x+\Delta x{)}^n-x^n}{\Delta x}$。

由二项式定理$(x+\Delta x{)}^n=x^n+n{x}^{n-1}\Delta x+\frac{n(n-1)}{2!}{x}^{n-2}(\Delta x{)}^2+\cdots +(\Delta x{)}^n$。

则$\frac{(x+\Delta x{)}^n-x^n}{\Delta x}=\frac{x^n+n{x}^{n-1}\Delta x+\cdots +(\Delta x{)}^n-x^n}{\Delta x}=n{x}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}{x}^{n-2}\Delta x+\cdots +(\Delta x{)}^{n-1}$。

当$\Delta x\to 0$时，后面含有$\Delta x$的项都趋近于$0$，所以$y^{\prime }=n{x}^{n-1}$。

（三）指数函数$(e^x{)}^{\prime }=e^x$的推导（使用极限定义和指数函数性质）

根据导数定义$(e^x{)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^x(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}$。

令$t=\Delta x$，当$\Delta x\to 0$时，$t\to 0$，考虑$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}$。

通过洛必达法则，对分子分母同时求导，$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t}{1}=1$。

所以$(e^x{)}^{\prime }=e^x\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=e^x$。

（四）对数函数$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$（$x>0$）的推导（使用导数定义和对数运算法则）

设$y=\ln x$，根据导数定义$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln \frac{x+\Delta x}{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}$。

令$t=\frac{\Delta x}{x}$，当$\Delta x\to 0$时，$t\to 0$，则原式变为$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{xt}=\frac{1}{x}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}$。

根据等价无穷小，当$t\to 0$时，$\ln (1+t)\sim t$，所以$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$，则$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$。

以下是求极值点的常见情况和方法：

（八）利用导数求极值点

1. 函数可导的情况
   • 求一阶导数并找驻点：对函数$f(x)$求一阶导数$f^{\prime }(x)$，令$f^{\prime }(x)=0$，解出的$x$值即为驻点。例如，对于函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$，令$f^{\prime }(x)=0$，即$3x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$，这两个点就是驻点。
   • 利用二阶导数判断驻点性质：
     • 求出函数的二阶导数$f^{\prime \prime }(x)$，将驻点代入二阶导数。
     • 如果$f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则$x_0$是函数的极小值点；例如函数$f(x)=x^2$，$f^{\prime }(x)=2x$，驻点$x=0$，$f^{\prime \prime }(x)=2$，$f^{\prime \prime }(0)=2>0$，所以$x=0$是极小值点。
     • 如果$f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则$x_0$是函数的极大值点；例如函数$f(x)=-x^2$，$f^{\prime }(x)=-2x$，驻点$x=0$，$f^{\prime \prime }(x)=-2$，$f^{\prime \prime }(0)=-2<0$，所以$x=0$是极大值点。
     • 如果$f^{\prime \prime }(x_0)=0$，则二阶导数判别法失效，需要进一步分析驻点左右两侧一阶导数的符号变化来判断。例如函数$f(x)=x^3$，$f^{\prime }(x)=3x^2$，驻点$x=0$，$f^{\prime \prime }(x)=6x$，$f^{\prime \prime }(0)=0$，此时观察$f^{\prime }(x)=3x^2$，当$x<0$时，$f^{\prime }(x)>0$；当$x>0$时，$f^{\prime }(x)>0$，说明函数在$x=0$两侧都是单调递增的，$x=0$不是极值点。
2. 函数不可导的情况
   • 有些函数在某些点不可导，但这些点也可能是极值点。例如函数$f(x)=|x|$，在$x=0$处不可导，但$x=0$是函数的极小值点。此时需要通过分析函数在该点附近的单调性来判断。当$x<0$时，$f(x)=-x$，函数单调递减；当$x>0$时，$f(x)=x$，函数单调递增，所以$x=0$是极小值点。

（一）利用函数的单调性求极值点

1. 确定函数定义域：先明确函数的定义域。
2. 分析单调性：通过分析函数在定义域内的单调性来确定极值点。如果函数在某区间单调递增，在另一个区间单调递减，那么单调性改变的点可能是极值点。例如函数$f(x)=\frac{1}{x}$，定义域为$x\ne 0$，当$x<0$时，函数单调递减；当$x>0$时，函数单调递减，在定义域内没有极值点。

（二）利用函数的图像求极值点

1. 绘制函数图像：对于一些简单函数，可以通过绘制其大致图像来直观地观察极值点的位置。例如二次函数$y=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$），其图像是抛物线，根据$a$的正负可以确定抛物线的开口方向，进而找到顶点（即极值点）。