嵌入式开发：傅里叶变换（1）：理论

目录

1. 傅里叶变换的四种类型

2. 计算机处理的核心方法：离散傅里叶变换（DFT）

3. 实数 DFT 与复数 DFT

4. 实际应用中的关键挑战

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• ​​​​​傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

• 傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
• 和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。
• 可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
• "任意" 的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。
• 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
• 著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出 (其算法称为快速傅里叶变换算法 (FFT))。
• 傅里叶级数：对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：其中 an和 bn是实频率分量的振幅。

1. 傅里叶变换的四种类型

根据信号类型（连续/离散、周期/非周期），傅里叶变换可分为以下四类：

类型	信号特性	变换方法
1	非周期性连续信号	傅里叶变换（FT）
2	周期性连续信号	傅里叶级数（FS）
3	非周期性离散信号	离散时间傅里叶变换（DTFT）
4	周期性离散信号	离散傅里叶变换（DFT）

说明：

• 以上变换均假设信号长度为无限，但计算机只能处理有限长度离散信号，因此实际应用中需通过特殊方法适配，也就是计算机中只能用到DFT，FFT。

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2. 计算机处理的核心方法：离散傅里叶变换（DFT）

• DFT 的独特性：
  唯一适用于计算机的傅里叶变换方法，因为计算机仅能处理离散且有限长度的数据。

• 有限信号的适配方法：

  • 补零（Zero-Padding）：将有限信号左右延伸补零，视为非周期离散信号，用 DTFT 近似处理。

  • 周期延拓：将信号复制延伸为周期性离散信号，直接应用 DFT。

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3. 实数 DFT 与复数 DFT

• 实数 DFT：
  输入为实信号，输出包含对称的频域信息，更易理解，适合入门学习。

• 复数 DFT：
  输入可为复信号，频域分析更灵活，但需掌握复数运算理论。

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4. 实际应用中的关键挑战

• 无限信号 vs 有限信号：
  傅里叶变换理论基于无限信号，但计算机只能处理有限信号。通过补零或周期延拓，将有限信号“伪装”为无限信号，是工程中的常用技巧。

• 频谱泄漏与分辨率：
  补零可能导致频谱分辨率下降，周期延拓可能引入频谱泄漏，需通过加窗函数（如汉宁窗）优化。

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核心结论：
离散傅里叶变换（DFT）是计算机信号处理的基石，通过补零或周期延拓将有限信号适配到 DFT 框架，是实际工程中的核心操作。理解实数 DFT 为复数 DFT 的学习提供桥梁，而频谱优化方法（如加窗）则是提升分析精度的关键。