人工智能之数学基础：线性空间

本文重点

本文我们将讲解线性空间的知识，它不仅是数学中非常重要的知识点，它在机器学习和深度学习中的价值也是非常重要的，在机器学习和深度学习中是可以通过线性空间来进行解释的。

线性空间的直观理解

线性空间可以看作是一个多维的“宇宙”，其中的“点”由向量表示，而“运动”则通过向量的加法和数乘来实现。这个宇宙中的每一个向量都可以看作是从原点出发到该点的一条有向线段，而线性空间的维度则决定了这个宇宙的大小和复杂度。

二维线性空间：可以想象成一个平面，其中的向量由两个分量（x, y）确定，代表平面上的点或方向。

三维线性空间：则类似于我们生活的物理空间，向量由三个分量（x, y, z）确定，可以表示空间中的位置、速度、力等。

更高维的线性空间：虽然难以直观可视化，但在理论物理（如量子力学中的态空间）、数据科学（如高维数据分析）等领域中扮演着重要角色。

线性空间的定义

这里我们从数学的角度来对其进行定义：

设V是一个非空集合，F是一个数域，称V为按所定义地运算构成F上的线性空间（简称V为F上的线性空间或者向量空间），如果满足以下的性质，那么数域F上的线性空间V记为V(F