高精度运算【加减乘除比较】

高精度定义

高精度计算（Arbitrary Precision Arithmetic）是指超过编程语言内置数据类型（如 int、long、double）所能表示范围的数值运算。一般编程语言的数值类型有固定的存储位数，导致超出范围时可能溢出或丢失精度，因此需要使用高精度算法来处理。

出现的原因：

• 1️⃣ 存储空间限制：int、double 等数据类型有固定的存储位数，超出范围会溢出或丢失精度。
• 2️⃣ 浮点数误差：计算机采用二进制存储小数，导致某些十进制数无法精确表示。
• 3️⃣ 科学/金融计算需求：很多实际应用（如金融、密码学）要求精确到几十位甚至上百位，普通数据类型无法满足

高精度模板套用：

Tip:
inline 是 C++ 关键字，用于建议编译器将函数代码直接插入调用处，以减少函数调用的开销，提高执行效率

• 普通函数调用涉及 压栈、跳转、返回 等步骤，inline 通过内联展开（直接替换代码）避免了这些额外操作，提高执行速度 ；
• 适合短小的函数，不适合递归函数和复杂函数；

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vector 为C++标准模板库中的动态数组容器；
特点：

• 支持自动扩容，调整大小；
• 连续存储，可以用指针遍历
• 支持随机访问；

方法：

• vector v(5, 10); // 创建 5 个元素，初始值均为 10
• vector v(5); // 定义一个大小为 5，所有元素初始化为 0 的 vector
• v.push_back(4); // {1, 2, 3, 4}，在末尾添加 4
• v.insert(v.begin(), 0); // {0, 1, 2, 3, 4}，在开头插入 0
• v.pop_back(); // 删除最后一个元素 {0, 1, 2, 3}
• v.erase(v.begin()); // 删除第一个元素 {1, 2, 3}
• int last = v.back(); // 访问最后一个元素
• int size = v.size(); // 获取元素个数
• reverse(res.begin(), res.end());//翻转数组中元素的位置 ，使用时加上 algorithm 头文件

高精度加法

思路：

• 传入两个动态数组，先在调用方法设置一个空的动态数数组和一个标志进位的值；
• 然后for循环其两个动态数组的长度，然后依次从其数组的低位加起来到标志进位的值；
• 然后将得到的值进%10取余做累加值的低位，然后将低位加起来的值/10保留到标志进位的值；
• 然后进行后续的操作，直到没有进位或者for循环达到索引是两个动态数组的长度；

/**
*这里的传入的数据方向是高位到低位
*/
inline vector<int> add(vector<int> &a, vector<int> &b) {
    vector<int> res;
    int carry = 0; // 进位
    int lenA = a.size(), lenB = b.size();

    // 从高位到低位处理
    for (int i = 0; i < max(lenA, lenB) || carry; i++) {
        if (i < lenA) carry += a[lenA - 1 - i]; // 从高位开始加
        if (i < lenB) carry += b[lenB - 1 - i]; // 从高位开始加
        res.push_back(carry % 10); // 取当前位
        carry /= 10; // 更新进位
    }

    reverse(res.begin(), res.end()); // 反转结果以恢复高位在前

    return res; // 返回最终结果
}

高精度减法

思路：

• 创建一个存储结果的向量和一个借位的临时变量；
• 从数值的低位开始进行相减，然后当数值小于0时进行借位；
• 将计算后的借位值插入存储结果的向量后面，以此类推；
• 最后对于前导0进行置空，以及翻转结果向量；

/**
*这里的传入的数据方向是高位到低位
*/
inline vector<int> sub(vector<int> &a, vector<int> &b) {
    vector<int> res;
    int borrow = 0; // 借位
    int lenA = a.size(), lenB = b.size();

    // 从高位到低位处理
    for (int i = 0; i < lenA; i++) {
        int t = a[lenA - 1 - i] - borrow; // 从高位开始减去借位
        if (i < lenB) {
            t -= b[lenB - 1 - i]; // 减去 b 的当前位
        }

        if (t < 0) {
            t += 10; // 借位
            borrow = 1;
        } else {
            borrow = 0;
        }

        res.push_back(t); // 存储当前位的结果
    }

    // 去掉前导零
    while (res.size() > 1 && res.back() == 0) {
        res.pop_back();
    }

    reverse(res.begin(), res.end()); // 反转结果以恢复高位在前

    return res;
}

高精度乘法（高精度数组，低位数值相除）

思路：（这里建议书写一个乘法运算，240*3）

• 传入高精度数组和对应的另一个低精度的乘数；
• 创建一个存储结果的动态数组和一个标志进位；
• 遍历从高精度低位开始依次乘以低精度乘数，然后模拟高精度加法进行取余放低位，剩下进行取模
• 依次循环往复，直到索引到达动态数组高位；

 /**
*这里的传入的数据方向是高位到低位
*/
inline vector<int> mul(vector<int> &a, int b) {
    vector<int> res;  // 存储结果的向量
    int t = 0;  // 进位
    int len = a.size();  // 输入向量的长度

    for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {  // 从高位到低位处理
        t += a[i] * b;  // 乘以 b
        res.push_back(t % 10);  // 取当前位
        t /= 10;  // 更新进位
    }

    while (t) {  // 处理剩余的进位
        res.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    reverse(res.begin(), res.end()); // 反转结果以恢复高位在前

    return res;  // 返回乘法结果
}

高精度除法（高精度数组，低位数值相除）

思路：（这里建议书写一个除法运算240/3）

• 初始先创建存储结果的向量和余数变量；
• 循环遍历从高位开始，进行余数*10再加向量中的索引位；
• 进行判断余数是否大于被除数，如果是进行push其相除的计算结果，后更新余数；否则更新余数为0；
• 去除前导0并最后返回结果；

/**
*这里的传入的数据方向是高位到低位
*/
inline vector<int> div(vector<int> &a, int b) {
    vector<int> res;  // 存储结果的向量
    int r = 0;  // 余数
    int len = a.size();  // 输入向量的长度

    for (int i = 0; i < len; i++) {  // 从高位到低位处理
        r = r * 10 + a[i];  // 将当前位加入余数
        if (r >= b) {  // 如果余数大于等于除数
            res.push_back(r / b);  // 计算商并存入结果
            r %= b;  // 更新余数
        } else {
            res.push_back(0);  // 商为0
        }
    }

    // 去掉前导零
    while (res.size() > 1 && res.front() == 0) {
        res.erase(res.begin());  // 移除前导零
    }

    return res;  // 返回除法结果
}

高精度比较

思路：

• 先进行动态数组长度的判断；
• 长度相同依次从每一个位进行比较；

 inline int compare(vector<int> &a, vector<int> &b) {
     int lenA = a.size();
     int lenB = b.size();
     if (lenA != lenB) {  // 长度不同
         return lenA - lenB;  // 返回长度差
     } else {  // 长度相同
         for (int i = lenA - 1; i >= 0; i--) {
             if (a[i] != b[i]) {  // 从高位比较
                 return a[i] - b[i];  // 返回差值
             }
         }
         return 0;  // 相等
     }
 }