HDU3507 Print Article(斜率优化dp)

前几天做多校,知道了这世界上存在dp的优化这样的说法,了解了四边形优化dp,所以今天顺带做一道典型的斜率优化,在百度打斜率优化dp,首先弹出来的就是下面这个网址:http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2012/08/03/2621345.html

上面讲的很详细,但是实际上有些地方貌似是不小心写错了,所以我也来复述一下感悟一下收获。

首先题意是比较明确的,如果我们定义dp[i]为打印到第i个字符时的最小花费的话,显然有下面的转移:

dp[i]=dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+m

然后我们考虑k<j<i时的情况,如果说我们求dp[i]的时候选择j比选择k更优,就会有:

dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+m>dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2+m

然后化简就会有:

(dp[j]+sum[j]^2)-(dp[k]-sum[k]^2)/2*(sum[j]-sum[k]) < sum[i] 

然后左边的项看上去是非常像斜率的,所以我们可以定义一个g[j,k]=(dp[j]+sum[j]^2)-(dp[k]-sum[k]^2)/2*(sum[j]-sum[k])

g[j,k]<sum[i]就表示了j点比k点更优。

考虑a<b<c的情况  g[c,b]<g[b,a]的时候说明什么了呢??

如果g[c,b]<sum[c]  那么 c比b更优

如果g[c,b]>=sum[c],则g[b,a]>g[c,b]>=sum[c] 说明 a比b更优

所以如果(c,b)的斜率<(b,a)的斜率那么 b点是不用考虑的。

基于这一点我们可以用一个队列,像求凸包一样去维护可行的点集。由于g[c,b]<g[b,a]的情况不存在,所以只有g[c,b]>=g[b,a],因此点集应该是上凸的

所以对于队列一开始的点集,如果队首元素的斜率g(que[qh+1],que[qh])<sum[i]的话,那么我们可以将队首元素弹出

(其实一般情况下应该是不可以的,但由于sum[i]是递增的,所以在求dp[i]时有g(que[qh+1],que[qh])<sum[i],dp[i+1]也有g(que[qh+1],que[qh])<sum[i+1],因此队首的元素一定是不用考虑的)

然后直到我们找到一个可行解。

然后就将现在的元素插入队尾,插入队尾的时候就要维护下凸的性质,大概就是这样子。

原博客讲的十分的清楚,然后评论里也讲了一些存在的纰漏和补充的地方,原博的下凸应该改为上凸吧,还有就是弹队首的时候还是要多加说明可能会更好。

#pragma warning(disable:4996)

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <vector>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#include <string>

#include <cmath>

using namespace std;



#define ll long long

#define maxn 510000



ll dp[maxn];

ll sum[maxn];

ll a[maxn];

int n, m;



int que[maxn];

int qh, qt;



ll getup(int i, int j){

	return (dp[i] + sum[i] * sum[i]) - (dp[j] + sum[j] * sum[j]);

}



ll getdown(int i, int j){

	return 2 * (sum[i] - sum[j]);

}



int main()

{

	while (cin >> n >> m){

		a[0] = sum[0] = 0;

		for (int i = 1; i <= n; ++i){

			scanf("%I64d", a + i);

			sum[i] = sum[i - 1] + a[i];

		}

		dp[0] = 0;

		qh = qt = 0;

		que[qt++] = 0;



		for (int i = 1; i <= n; ++i){

			while (qh + 1 < qt && getup(que[qh + 1], que[qh]) <= getdown(que[qh + 1], que[qh]) * sum[i]){

				qh++;

			}

			dp[i] = dp[que[qh]] + (sum[i] - sum[que[qh]])*(sum[i] - sum[que[qh]]) + m;

			while (qh + 1 < qt && getup(i, que[qt - 1])*getdown(que[qt - 1], que[qt - 2]) <= getup(que[qt - 1], que[qt - 2])*getdown(i, que[qt - 1])){

				qt--;

			}

			que[qt++] = i;

		}

		printf("%I64d\n", dp[n]);

	}

	return 0;

}

 

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