学习第十一天-树

一、树的基础概念

1. 定义

树是一种非线性数据结构，由 n 个有限节点组成层次关系集合。特点：

• 有且仅有一个根节点
• 其余节点分为若干互不相交的子树
• 节点间通过父子关系连接

2. 关键术语

术语	定义
节点	包含数据和子节点引用的单元
根节点	树的起始节点，没有父节点
子节点	直接连接到父节点的节点
叶子节点	没有子节点的节点
度	节点拥有的子树数目
树的高度	从根节点到最远叶子节点的最长路径边数
树的深度	从根节点到当前节点的层数
路径	从根到某节点的唯一通道

3. 分类

• 二叉树：每个节点最多两个子节点（左子树 / 右子树）
• 多叉树：每个节点可包含多个子节点（如三叉树、四叉树）
• 有序树：子树顺序有意义（如二叉搜索树）
• 无序树：子树顺序无关

二、二叉树的核心特性

1. 特殊二叉树

• 满二叉树：所有层节点数达到最大值
• 完全二叉树：最后一层节点靠左排列，其余层满
• 二叉搜索树：左子树值 < 根值 < 右子树值

2. 重要性质

1. 第 i 层最多有 2^(i-1) 个节点
2. 高度为 h 的二叉树最多有 2^h -1 个节点
3. 完全二叉树节点编号 i 的子节点为 2i 和 2i+1
4. 叶子节点数 = 度为 2 的节点数 + 1

3. 存储结构

方式	实现方式	适用场景
数组存储	按层序编号存储节点值	完全二叉树
链式存储	结构体包含左右指针	任意二叉树

三、二叉树遍历方法

1. 深度优先遍历

• 前序遍历：根→左→右
  递归实现:

  收起

  python

  def preorder(root):
      if root:
          print(root.val)
          preorder(root.left)
          preorder(root.right)
  

• 中序遍历：左→根→右
  应用: 二叉搜索树中序遍历结果有序
• 后序遍历：左→右→根
  应用: 计算表达式树

2. 广度优先遍历

• 层序遍历：逐层访问节点
  队列实现:

  收起

  python

  def levelorder(root):
      queue = [root]
      while queue:
          node = queue.pop(0)
          print(node.val)
          if node.left: queue.append(node.left)
          if node.right: queue.append(node.right)
  

3. 遍历对比

遍历方式	时间复杂度	空间复杂度	典型应用
前序	O(n)	O(h)	复制树、生成括号
中序	O(n)	O(h)	二叉搜索树排序
后序	O(n)	O(h)	删除树、计算表达式
层序	O(n)	O(w)	层次处理、找最近公共祖先

四、树结构的典型应用

1. 文件系统：目录结构（Windows 资源管理器）
2. XML/JSON 解析：文档对象模型（DOM）
3. 数据库索引：B 树 / B + 树优化查询
4. 压缩算法：哈夫曼树构建最优前缀编码
5. 人工智能：决策树、蒙特卡洛树搜索
6. 网络路由：路由表的层次化存储

五、高级树结构详解

5.1 B 树（B-Tree）

5.1.1 定义与特性

• 平衡多路查找树，所有叶子节点在同一层
• 阶数 m：每个节点最多有 m 个子节点（m≥2）
• 关键特性：
  • 根节点至少 2 个子节点
  • 非根节点至少⌈m/2⌉个子节点
  • 叶子节点包含所有数据

5.1.2 操作复杂度

操作	时间复杂度
查找	O(log_m n)
插入	O(log_m n)
删除	O(log_m n)

5.1.3 典型应用

• 数据库索引（如 MySQL 的 InnoDB 引擎）
• 文件系统目录结构
• 外部存储数据管理

5.1.4 与二叉搜索树对比

特性	B 树	二叉搜索树
平衡方式	多叉平衡	二叉平衡
查找效率	更低的 I/O 次数	依赖树的高度
适用场景	外存数据管理	内存数据管理

5.2 红黑树（Red-Black Tree）

5.2.1 定义与性质

• 自平衡二叉搜索树，通过颜色标记保持平衡
• 五大性质：
  1. 节点颜色为红或黑
  2. 根节点为黑色
  3. 叶子节点（NIL）为黑色
  4. 红节点的子节点必须为黑色
  5. 从任一节点到其叶子的路径包含相同数量黑节点

5.2.2 操作复杂度

操作	时间复杂度
查找	O(log n)
插入	O(log n)
删除	O(log n)

5.2.3 典型应用

• Java 的 TreeMap/TreeSet
• C++ 的 std::map
• Linux 内核的进程调度
• Nginx 的定时器管理

5.2.4 旋转操作

• 左旋转：将某个节点作为支点向左下方旋转
• 右旋转：将某个节点作为支点向右上方旋转
• 示例代码片段：

收起

python

def left_rotate(x):
    y = x.right
    x.right = y.left
    if y.left:
        y.left.parent = x
    y.parent = x.parent
    if x.parent is None:
        root = y
    elif x == x.parent.left:
        x.parent.left = y
    else:
        x.parent.right = y
    y.left = x
    x.parent = y

5.3 其他重要树结构

类型	核心特性	典型应用
AVL 树	严格平衡（左右子树高度差≤1）	内存中的有序数据
哈夫曼树	带权路径长度最小	数据压缩（如 ZIP 算法）
B + 树	所有数据在叶子节点，非叶子存索引	数据库索引
线段树	区间查询优化	统计类问题
字典树 (Trie)	前缀共享存储	拼写检查、IP 路由表

六、树结构对比与选择策略

6.1 平衡树对比

结构	平衡条件	插入 / 删除复杂度	适用场景
B 树	多叉平衡	O(log_m n)	外存数据管理
红黑树	颜色标记平衡	O(log n)	内存有序结构
AVL 树	高度差平衡	O(log n)	频繁查询场景

6.2 选择策略

1. 内存场景：
   • 数据量小 → 二叉搜索树
   • 数据量大 → 红黑树 / AVL 树
2. 外存场景：
   • 读多写少 → B + 树
   • 读写均衡 → B 树
3. 特殊需求：
   • 前缀匹配 → Trie 树
   • 数据压缩 → 哈夫曼树

七、树结构算法优化技巧

1. 空间优化：
   • 使用数组存储完全二叉树（节省指针空间）
   • 共享子树结构（如 Trie 树的前缀共享）
2. 时间优化：
   • 利用缓存友好性（B 树的节点大小与磁盘块对齐）
   • 延迟更新（如红黑树的懒删除）
3. 并行处理：
   • 多叉树的多路并行查找
   • 分布式哈希表（DHT）的树状路由