蓝桥杯C++基础算法-前缀和

这段代码实现了一个基于前缀和的区间和查询功能。它的核心思想是通过预先计算一个前缀和数组 s，使得每次查询某个区间的和时，可以在常数时间内完成。以下是代码的详细思路解析：

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1. 问题背景

假设有一个数组 a，长度为 n，我们需要多次查询某个区间 [l, r] 内所有元素的和。直接计算区间和的方法是遍历区间 [l, r] 并累加，但这会导致每次查询的时间复杂度为 O(n)，效率较低。为了优化查询效率，可以使用前缀和技术。

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2. 前缀和的概念

前缀和数组 s 是一个辅助数组，其中 s[i] 表示数组 a 从第 1 个元素到第 i 个元素的累加和，即：

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s[i] = a[1] + a[2] + ... + a[i]

通过前缀和数组，可以快速计算任意区间 [l, r] 的和：

cpp复制

sum[l, r] = s[r] - s[l - 1]

这里的关键是利用了前缀和的性质：s[r] 是从 a[1] 到 a[r] 的累加和，s[l - 1] 是从 a[1] 到 a[l - 1] 的累加和，因此它们的差值就是区间 [l, r] 的和。

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3. 代码逻辑解析

(1) 输入部分

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cin >> n >> m;  // 输入数组长度 n 和查询次数 m
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];  // 输入数组 a

• 用户输入数组的长度 n 和查询次数 m。

• 接着输入数组 a 的每个元素。数组 a 的索引从 1 开始，方便后续计算。

(2) 前缀和数组的计算

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s[0] = 0;  // 初始化 s[0] 为 0
for (int i = 1; i <= n; i++) 
    s[i] = s[i - 1] + a[i];  // s[i] 是从 a[1] 到 a[i] 的累加和

• 初始化 s[0] = 0，表示从第 1 个元素之前的累加和为 0。

• 使用循环计算前缀和数组 s：

  • s[i] 的值等于 s[i - 1]（前一个前缀和）加上当前元素 a[i]。

  • 这样，s[i] 就存储了从 a[1] 到 a[i] 的累加和。

(3) 查询部分

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while (m--)
{
    int l, r;
    cin >> l >> r;  // 输入查询区间 [l, r]
    cout << s[r] - s[l - 1] << endl;  // 输出区间和
}

• 用户输入查询区间 [l, r]。

• 利用前缀和数组快速计算区间和：

  • 区间 [l, r] 的和等于 s[r] - s[l - 1]。

  • 这里利用了前缀和的性质，计算结果的时间复杂度为 O(1)。

• 输出查询结果。

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4. 代码效率分析

• 时间复杂度：

  • 计算前缀和数组的时间复杂度为 O(n)。

  • 每次查询的时间复杂度为 O(1)。

  • 总时间复杂度为 O(n + m)，其中 n 是数组长度，m 是查询次数。

• 空间复杂度：

  • 使用了一个额外的前缀和数组 s，空间复杂度为 O(n)。

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5. 示例运行

输入：

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5 3
1 2 3 4 5
1 3
2 4
1 5

运行过程：

1. 输入数组长度 n = 5 和查询次数 m = 3。

2. 输入数组 a = [1, 2, 3, 4, 5]。

3. 计算前缀和数组 s：

   • s[0] = 0

   • s[1] = 1

   • s[2] = 3

   • s[3] = 6

   • s[4] = 10

   • s[5] = 15

4. 处理查询：

   • 查询 [1, 3] 的和：s[3] - s[0] = 6

   • 查询 [2, 4] 的和：s[4] - s[1] = 9

   • 查询 [1, 5] 的和：s[5] - s[0] = 15

输出：

plaintext复制

6
9
15

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6. 总结

这段代码的核心思路是通过前缀和技术，将区间和查询的时间复杂度从 O(n) 优化到 O(1)。通过预先计算一个前缀和数组 s，可以快速完成多次区间和查询，适用于需要频繁查询区间和的场景。

完整代码

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;

int n, m;
int a[N], s[N];  // a 存储原始数组，s 存储前缀和

int main()
{
    cin >> n >> m;  // 输入数组长度 n 和查询次数 m
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];  // 输入数组 a

    // 计算前缀和数组 s
    s[0] = 0;  // 初始化 s[0] 为 0
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        s[i] = s[i - 1] + a[i];  // s[i] 是从 a[1] 到 a[i] 的累加和

    // 处理 m 次查询
    while (m--)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;  // 输入查询区间 [l, r]
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;  // 输出区间和
    }

    return 0;
}