从代码学习数值优化算法-McCormick包络方法python版

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前言

欢迎阅读本博客，我们将深入探讨McCormick包络方法，这是一种在数值优化领域中用于处理非凸问题的强大技术。McCormick包络方法特别适用于混合整数非线性规划（MINLP）问题，通过将其放松为凸问题（如线性规划，LP），显著降低了求解难度。本文将从理论基础入手，逐步介绍其在Python中的实现，结合提供的代码示例，帮助读者全面理解这一方法。

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一、McCormick包络方法的理论基础

1.1 定义与目的

• 定义：McCormick包络是一种用于双线性非线性规划问题的凸放松方法，广泛用于解决MINLP问题。
• 目的：通过放松非凸MINLP问题为凸非线性规划（NLP）或线性规划（LP），提供原始问题[最小化问题]最优解的下界。

1.2 工作原理

假设变量 $x$ 和 $y$ 的范围分别为$x^L\le x\le x^U$和 $y^L\le y\le y^U$，对于双线性项 $z=x\cdot y$，McCormick包络通过以下线性约束近似：

• $w\ge x^{L}y+y^{L}x-x^L{y}^L$
• $w\ge x^{U}y+y^{U}x-x^U{y}^U$
• $w\le x^{U}y+y^{L}x-x^U{y}^L$
• $w\le x^{L}y+y^{U}x-x^L{y}^U$

这些约束形成了一个凸包，包含了 x ⋅ y x \cdot y