完全背包问题---动态规划

什么是完全背包问题？

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

完全背包的二维解法

递归五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义：用二维数组 dp[i][j] 表示前 i 个物品在容量 j 时的最大价值，每个物品可以放多次
2. 确定递推公式：对于 dp[i][j] 来说，要么把第 i 个物品放进去，要么不把第 i 个物品放进去。
   • 如果不放第 i 个物品，dp[i][j] = dp[i-1][j]；
   • 如果放入第 i 个物品，因为物品 i 可以放入多次，空出本次物品 i 的空间，剩余空间为 j-weight[i]，那么只要这时候 i 个物品在 j－wi 空间里构造出最大价值，即 dp[i][j-weight[i]]，再加上此时放入的i的价值vi，就是 dp[i][j] 了，即 dp[i][j] = dp[i][j-weight[i]] + value[i] ；
   • 注意和 0-1背包问题区分， 01背包中是 dp[ i - 1 ][ j - weight[i]] + value[i])
   • 在放入物品 i 之前，需要判断当前空间 j 是否大于 weight[i]
3. dp数组初始化：从递推公式中可以看出，dp[i][j] 是由 dp[ i-1 ][j] 和 dp[i][j-weight[i]] 推得的，也就是上面和左面，那么我们只需要初始化第一行；
4. 确定遍历顺序：先遍历物品还是先遍历背包，其实无论是哪一种，对于 dp[i][j] 上面的和左面的都能得到，但为了更好理解，先遍历物品再遍历背包；
5. 举例推导dp数组

注意：对于二维数组来说，因为它可以记录所有左边和上边的值，并不会被覆盖，因此只能求解组合问题，而不能求解排列问题。

完全背包的一维解法

就像 0-1背包问题一样，完全背包问题也可以用一维数组解决。从上面可以知道，dp[i][j] 完全依赖于 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-weight[i]]，也就是上面和左面，因此完全可以一维数组解决。

同时，对于 0-1背包问题，它依赖于上面和左上角，因此左边的数据必须比 dp[i][j] 晚更新，也就是采取倒序的问题，而 完全背包依赖于左边和上边，左边的数据应该更早更新，所以采用正序
0-1背包问题—动态规划

对于一维数组来解决完全背包问题，还存在循环顺序不同会导致排列与组合的差异。即： 先物品后背包是组合问题，先背包后物体是排列问题。

举一个例子来说：

leetcode518. 零钱兑换 II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。 

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

如果我们先物品后背包，

• 外层循环固定硬币种类，比如 coins = [1, 2, 5]，那么：
  • 先只考虑 1，计算所有可能的组合。
  • 然后加入 2，计算 1 和 2 的组合。
  • 最后加入 5，计算 1, 2, 5 的组合。
• ​由于硬币是按顺序处理的，1 永远在 2 前面，2 永远在 5 前面，因此：
  • 1 + 2 会被计算，但 2 + 1 不会被计算（因为 2 的处理在 1 之后）。
  • ​结果：顺序固定，得到的是组合数。

如果先背包再物品，

• ​外层循环固定金额，比如 j = 5，然后尝试所有硬币：
  • 先尝试 1，计算 dp[5] += dp[4]（即 1 + … 的组合）
  • 然后尝试 2，计算 dp[5] += dp[3]（即 2 + … 的组合）
  • 最后尝试 5，计算 dp[5] += dp[0]（即 5 本身）
• 由于每次计算 dp[j] 时都会尝试所有硬币，因此：
  • 1 + 2 + 2 和 2 + 1 + 2 会被视为不同的方式。
  • ​结果：顺序不固定，得到的是排列数。

对于初始化问题，dp[0] = 1 即可，不需要初始化第一行或第一列，因为都可以通过第一个数推导出来。