Fibonacci（hdu1568）——一道我不知道怎么说的题

 

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1568

 

这是道神奇的题，求斐波那契数列的0到第100000000项的前四位，之前做过斐波那契数列的水题，求到63项

 

能用__int64解决，但是到100000000项的话用数组都会超时，所以我是一点办法没有，只有学习大牛的解法。

 

看了下网上的题解，大牛们用的都是下面这个公式，不得不说，数学好才是真的好！o(︶︿︶)o 唉，这公式

是怎么出来的？

 

以下是大牛的解释：

先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那么要取几位就很明显了吧~
先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。
注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~

这题要利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

取完对数

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)

其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
因为log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)趋近于0
所以可以写成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);
最后取其小数部分。

 

 

 

虽然不是自己想到的，但是还是用c++写了下：

 

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio> 
using namespace std;
const double s = (sqrt(5.0)+1.0)/2;
int main()
{
    int n,i;
    double bit;
    int fac[21] = { 0 , 1 };
    for(i = 2; i < 21; i++) 
        fac[i] = fac[i-1] + fac [i-2];
    while(cin >> n)
    {
        if(n <= 20) {
            cout << fac[n] << endl;
            continue;
        }
        else{
            bit = -0.5*log(5.0)/log(10.0)+((double)n)*log(s)/log(10.0);//调用公式 
            bit = bit - floor(bit); //取小数部分└(^o^)┘ 
            bit = pow(10.0,bit); 
            while(bit < 1000) //要求四位，所以要将小数点右边的数移到左边直到符合要求 
                bit = 10.0 * bit; 
            cout << (int)bit << endl;    
        }
    }
    return 0;
}

我一直纳闷我的为啥跑了15ms，大牛的是0ms！