最长上升子序列算法

这题目是经典的DP题目，也可叫作LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列 或者 最长不下降子序列。很基础的题目，有两种算法，复杂度分别为O(n*logn)和O(n^2) 。

A.
O(n^2)算法分析如下： 

（a[1]...a[n] 存的都是输入的数） 
1、对于a[n]来说，由于它是最后一个数，所以当从a[n]开始查找时，只存在长度为1的上升子序列； 

 

2、若从a[n-1]开始查找，则存在下面的两种可能性： 
   （1）若a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的上升子序列 a[n-1],a[n];
   （2）若a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的上升子序列 a[n-1]或者a[n]。 

 

3、一般若从a[t]开始，此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的： 
    在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出一个比a[t]大的且最长的上升子序列，作为它的后继。 

#include <iostream>

#include <stdio.h>

using namespace std;

int main(void)

{

    int i,j,n,a[100],b[100],max;

    while(cin>>n)

    {

        for(i=0; i<n; i++)

            cin>>a[i];

        b[0]=1;             //初始化，以a[0]结尾的最长递增子序列长度为1

        for(i=1; i<n; i++)

        {

            b[i]=1;         //b[i]最小值为1

            for(j=0; j<i; j++)

                if(a[j]<a[i]&&b[j]+1>b[i])

                    b[i]=b[j]+1;

//            for(int k=0;k<=i;k++)printf("%d ",b[k]);

//            printf("\n");

            }

        for(max=i=0; i<n; i++) //求出整个数列的最长递增子序列的长度

            if(b[i]>max)

                max=b[i];

        cout<<max<<endl;

    }

    return 0;

}

个人理解：

就例子5 8 0 15 100 47来说，外层循环先从8开始然后与8前面的5比，8>5且b[1]<b[0]+1;所以b[1]=2了；然后0和0前面的5比，0<5不用看了，然后0和8比，

0<8也不用看，b[2]还是为1，然后15和前面5,8,0比，15>5且b[3]<b[0]+1;b[3]=b[0]+1=2,然后15>8且b[3]<b[1]+1,所以b[3]=b[1]+1=3了，

15>0但b[3]不小于b[2]+1,所以b[3]还是3；。。。。后面思路就会了。。

 

显然，这种方法的时间复杂度仍为o(n^2);

B.

最长不下降子序列的O(nlogn)算法分析如下: 

设 A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。 

现在，我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足 
(1)x < y < t 
(2)A[x] < A[y] < A[t] 
(3)F[x] = F[y] 

 

此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？ 

 

很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。 
再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。 

注意到D[]的两个特点： 
(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不下降的。 
(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。 

利 用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A [t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A [t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有A [t] <= D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上 升子序列的长度。 

在 上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的 时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法 的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

 

 1 #include <iostream>

 2 using namespace std;

 3 int find(int *a,int len,int n)//若返回值为x,则a[x]>=n>a[x-1]

 4 {

 5     int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;

 6     while(left<=right)

 7     {

 8         if(n>a[mid]) left=mid+1;

 9         else if(n<a[mid]) right=mid-1;

10         else return mid;

11         mid=(left+right)/2;

12     }

13     return left;  

14 }

15      

16 void fill(int *a,int n)

17 {

18     for(int i=0;i<=n;i++)

19         a[i]=1000;

20 }

21      

22 int main(void)

23 {

24     int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100];

25     while(cin>>n)

26     {

27         fill(c,n+1);

28         for(i=0;i<n;i++)

29             cin>>a[i];

30         c[0]=-1;//     …………………………………1

31         c[1]=a[0];//         …………………………2

32         b[0]=1;//      …………………………………3

33         for(i=1;i<n;i++)//           ………………4

34         {

35             j=find(c,n+1,a[i]);//  …………………5

36             c[j]=a[i];// ………………………………6

37             b[i]=j;//……………………………………7

38         }

39         for(max=i=0;i<n;i++)// ………………………8

40             if(b[i]>max)

41                 max=b[i];

42        cout<<max<<endl;

43     }

44     return 0;

45 }

 

    对于这段程序，我们可以用算法导论上的loop invariants来帮助理解.
    loop invariant : 1、每次循环结束后c都是单调递增的。(这一性质决定了可以用二分查找）
                        2、每次循环后，c[i]总是保存长度为i的递增子序列的最末的元素，若长度为i的递增子序

                            列有多个，刚保存末尾元素最小的那个.（这一性质决定是第3条性质成立的前提）
                        3、每次循环完后，b[i]总是保存以a[i]结尾的最长递增子序列。
    initialization:     1、进入循环之前，c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均为1000,c是单调递增的;
                        2、进入循环之前，c[1]=a[0],保存了长度为1时的递增序列的最末的元素，且此时长度为1

                            的递增了序列只有一个，c[1]也是最小的;
                        3、进入循环之前，b[0]=1，此时以a[0]结尾的最长递增子序列的长度为1.
    maintenance:    1、若在第n次循环之前c是单调递增的，则第n次循环时，c的值只在第6行发生变化，而由

                             c进入循环前单调递增及find函数的性质可知（见find的注释),

                             此时c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新为a[i]后，c[j+1]>c[j]> c[j-1]的性质仍然成

                             立，即c仍然是单调递增的；
                         2、循环中，c的值只在第6行发生变化，由c[j]>=a[i]可知，c[j]更新为a[i]后，c[j]的值只会变

                             小不会变大，因为进入循环前c[j]的值是最小的，则循环中把c[j]更新为更小的a[i]，当

                             然此时c[j]的值仍是最小的;
                         3、循环中，b[i]的值在第7行发生了变化，因为有loop invariant的性质2，find函数返回值

                             为j有：c[j-1]<a[i]<=c[j],这说明c[j-1]是小于a[i]的，且以c[j-1]结尾的递增子序列有最大的

                             长度，即为j-1,把a[i]接在c[j-1]后可得到以a[i]结尾的最长递增子序列，长度为(j-1)+1=j;
    termination:        循环完后，i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出，即以a[0],a[1],...,a[n-1]结尾的最长递

                           增子序列的长度均已求出，再通过第8行的循环，即求出了整个数组的最长递增子序列。

         

 

仔细分析上面的代码可以发现，每次循环结束后，假设已经求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值，则此时最长递增子序列的长度为 len,因此可以把上面的代码更加简化，即可以不需要数组b来辅助存储，第8行的循环也可以省略。

 1 #include <iostream>

 2 using namespace std;

 3 int find(int *a,int len,int n)//修改后的二分查找，若返回值为x，则a[x]>=n

 4 {

 5     int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;

 6     while(left<=right)

 7     {

 8        if(n>a[mid]) left=mid+1;

 9        else if(n<a[mid]) right=mid-1;

10        else return mid;

11        mid=(left+right)/2;

12     }

13     return left;

14 }

15      

16 int main(void)

17 {

18     int n,a[100],c[100],i,j,len;//新开一变量len,用来储存每次循环结束后c中已经求出值的元素的最大下标

19     while(cin>>n)

20     {

21         for(i=0;i<n;i++)

22             cin>>a[i];

23         b[0]=1;

24         c[0]=-1;

25         c[1]=a[0];

26         len=1;//此时只有c[1]求出来，最长递增子序列的长度为1.

27         for(i=1;i<n;i++)

28         {

29             j=find(c,len,a[i]);

30             c[j]=a[i];

31             if(j>len)//要更新len,另外补充一点：由二分查找可知j只可能比len大1

32                 len=j;//更新len

33         }

34         cout<<len<<endl;

35     }

36     return 0;

37 }