【基础数论】---质数判断

1. 质数定义

• 质数：一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除（即没有其他正因数）。
  • 示例：2, 3, 5, 7, 11 是质数。
  • 1 不是质数，4（可被 2 整除）不是质数。

---

2. 判断质数的方法

2.1 基础方法：逐个检查

从 2 到 n-1 检查是否有因数，如果有则不是质数。

代码示例

public boolean isPrime(int n) {
    // 小于等于 1 不是质数
    if (n <= 1) return false;
    // 从 2 到 n-1 检查是否有因数
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

复杂度

• 时间复杂度：O(n)
  • 循环从 2 到 n-1。
• 空间复杂度：O(1)
  • 仅用常数空间。

问题

• 效率低：对于大数 n，循环次数过多。

2.2 优化方法 1：检查到平方根

• 原理：如果 n 不是质数，它一定有一个小于等于 √n 的因数（因为因数成对出现）。
• 只需检查从 2 到 √n 是否有因数即可。

代码示例

public boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    // 检查到平方根
    for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

复杂度

• 时间复杂度：O(√n)
  • 循环次数减少到 √n。
• 空间复杂度：O(1)。

优点

• 效率提升：对于大数（如 n = 10^9），√n ≈ 3.16 * 10^4，远小于 n。

2.3 优化方法 2：排除偶数

• 原理：
  • 如果 n > 2 且是偶数，直接返回 false（因为 2 是唯一偶数质数）。
  • 之后只检查奇数因数，减少循环次数。

代码示例

public boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    if (n == 2) return true; // 2 是质数
    if (n % 2 == 0) return false; // 其他偶数不是质数
    // 只检查奇数，直到平方根
    for (int i = 3; i <= Math.sqrt(n); i += 2) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

复杂度

• 时间复杂度：O(√n)
  • 比方法 2 快一倍（只检查奇数）。
• 空间复杂度：O(1)。

---