线性代数-矩阵

矩阵

相关定义

1. 对角矩阵:除了主对角线上的元素不为0,其他元素都为零的矩阵.
2. 数量矩阵:对角矩阵主对角线上的所有元素都相等的矩阵,恒等变换就是单位矩阵.
3. 对称矩阵:$A=A^T$
4. 反对称矩阵:$A=-A^T$
5. 伴随矩阵:将$a_{ij}$换位$A_{ji}$得到的矩阵,$A^{\ast }\cdot A=|A|E$
6. 逆矩阵:$A\cdot A^{-1}=E,A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$
7. 不可逆矩阵又称奇异矩阵.
8. 矩阵的转置意味着对某图形关于某点对称
9. 子式:矩阵任意k行和k列交叉处的k阶行列式.
   10.矩阵经过有限次的初等变换形成的矩阵与原矩阵等价,记作$A
10. 矩阵的秩:矩阵中存在某k阶子式不为0,且矩阵的所有k+1阶子式都为0.
11. 有单位矩阵经一次初等变换的得到的矩阵为初等矩阵.
    (1). 交换E的ij两行,记作$P_{ij}$
    (2).用非0常数乘E的第i行(列),记作$D_i(k)$
    (3).将E的第j行(或列)的k倍加到第i行(或列),记作$T_{ij}(k)$
12. 特征向量为线性变换前后在同一条直线上的向量,特征值为某特征向量线性变换前后长度的比值.即$A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$
13. $|A-\lambda E|=0$称为A的特征方程.
14. 正交矩阵:每行(列)两两正交且为单位向量的矩阵,$A^{T}A=E$
15. 相似矩阵:A,B为n阶方阵,若存在P使$B=P^{-1}AP$,称A,B相似,若B为对角矩阵,称B为A的相似标准型.
16. 合同矩阵:若A,B满足$A=P^{T}BP$,称A,B为合同矩阵.
17. 若方阵A可以找到可逆的P使$P^{-1}AP$为对角矩阵,称A可对角化.
18. 正定矩阵:设实二次型$f(x_1,x_2,...,x_n)=x^{T}Ax.$如果对任意x!=0,都有$x^{T}Ax>0$,称f为正定二次型,A为正定矩阵(不要忽略前提,在实二次型下)

相关性质

• 线性齐次方程组

1. n元线性齐次方程组$Ax=0$有非零解的充要条件为$|A|!=0$或$r(A)<n$

• 可逆矩阵性质:

1. $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$
2. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
3. $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$
4. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
5. 可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的乘积.

• 矩阵的秩

6. 矩阵初等变换不改变矩阵的秩.(包括对换变换,数乘变换,倍加变换)
7. n元齐次线性方程组$Ax=0$有解的充要条件为r(A)

• 分块矩阵

8. 分块矩阵的转置,不仅块与块之间转置,块内元素也要转置.

• 特征值与特征向量

9. 若方阵可对角化,其秩等于它的非零特征值的个数.
10. ${\lambda }_1{\lambda }_2...{\lambda }_n=|A|$
11. ${\lambda }_1+{\lambda }_2+...+{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+...a_{nn}$,称其为traA,叫做A的迹.
12. 矩阵秩为0的充要条件为$\lambda =0$为矩阵的秩.
13. $A$与$A^T$具有相同的特征多项式,因而具有相同的特征值,但不一定具有相同的特征向量.
14. 若$\lambda$为A的特征值,则$f(\lambda )$是$f(A)$的特征值.当A可逆时,$\frac{1}{\lambda }$是$A^{-1}$的特征值

• 相似矩阵

18. 相似矩阵具有相同的特征多项式,相同的行列式和特征值.
19. 若AB相似,则$f(A)f(B)$相似.
20. 若AB相似,A可逆,则$A^{-1}$与$B^{-1}$相似.
21. A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.

• 合同矩阵

22. 合同矩阵的秩相等.
23. 合同矩阵具有相同的正惯性系数.

• 正定二次型,正定矩阵

24. 正定矩阵一定是是实对称矩阵.
25. 正定矩阵合同于同阶单位阵.
26. 实对称相似矩阵一定合同.

特征值和特征向量

10. 特征值和特征向量的定义有计算公式,
11. 如果特征向量为基向量,则有以下特点:
12. 乘积更加容易算得(对角矩阵的乘积),因为只涉及对角线上的元素的乘积,故只需将对角线相同位置的元素相乘就行.如果是自己的n次方,只需将对角元素进行n次方运算即可.
13. 解读对角矩阵:对角矩阵的每个列向量都是特征向量,每个列向量的非零元素就是他的一个特征值.
14. 基变换矩阵:矩阵的线性无关的特征向量构成的矩阵
15. 我们可以使特征向量成为基向量用于计算:
    将某个矩阵右乘基变换矩阵,左乘基变换矩阵的逆来将其对角化,得到的对角矩阵是该矩阵在以基变换矩阵为基的坐标系中的变换

基变换

16. 空间中没有网格,一切坐标系都是为了方便计算而产生.
17. 将基A(不是(1,0),(0,1))下的向量表示为以S((1,0)(0,1)为基)的坐标系中的向量时,只需要用A中该向量的坐标乘以A的基向量在B中的表示即可.同理,已知某向量在B中的表示方法,将其左乘A的基的逆就可以算出该向量在A中的表示.
18. 如何转化一个矩阵:
    假设矩阵A为在(1,0)(0,1)的一个线性变换,向量α为以P为基的坐标系的一个向量,P为以P为基的坐标系的基在(1,0)(0,1)的表示,则首先用P左乘向量α得到α在(1,0)(0,1)的表示方法,再对其左乘A,即对其进行A变换,最后对整个式子左乘P的逆,就得到了α经过线性变换A后在P中的表达.P逆AP代表A这种变换在以P为基的坐标系的表达,其几何意义不变.

二次型

• 施密特正交化:
  $$\begin{gathered} {\beta }_1={\alpha }_1, \\ {\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1, \\ {\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2, \\ ... \\ {\beta }_n={\alpha }_n-\frac{({\alpha }_n,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_n,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2-...-\frac{({\alpha }_n,{\beta }_{n-1})}{({\beta }_{n-1},{\beta }_{n-1})}{\beta }_{n-1}. \end{gathered}$$