文法、语言、正则表达式

文法的形式定义于分类

一个上下文无关文法有四个元素组成：

• 一个终结符号集合，也称为词法单元。
• 一个非终结符号集合，也称为语法变量。
• 一个产生式集合。
• 一个开始符号。

文法G可以抽象成四元组的形式：G=(V_N,V_T,P,S)

其中V_N表示非终结符集，V_T表示终结符集，P表示产生式集，S表示开始符号。

文法G描述的语言用L(G)表示L(G)={w|w∈V_T*且S=⁺>w}

• 符号串w从开始符号推导出来
• w仅由终结符号组成
• w称为该语言的句子
• L(G)由所有这样的句子构成

约定：

• 大写字母A~Z表示非终结符，或用尖括号把非终结符括起来。
• 前面的小写符号a、b、c表示单个终结符号。
• 后面的小写字母u、v、w、x、y、z以及α、β、γ等符号表示(V_T∪V_N）上的符号串。

文法的分类：

1. 0型文法：无限制文法、短语文法，α->β，α中至少含一个非终结符。
2. 1型文法：上下文有关文法，α->β满足|α|<=|β|，对于产生式α₁Aα₂->α₁βα₂，用β替换A时，只能在上下文为α₁和α₂时才能进行。
3. 2型文法：上下文无关文法，A->β，其中A为单个非终结符，当用β替换A时，与A的上下文环境无关。
4. 3型文法：正则文法，每个产生式形为A->aB或A->a。

分别被四种自动机识别：

1. 图灵机
2. 线性界线自动机
3. 下推自动机
4. 有穷自动机

串和语言和语言上的运算

字母表是一个有限的符号集合。

某个字母表上的串是该字母表中符号的一个有穷序列。

语言是某个给定字母表上任意的可数的串集合。

串的基本术语有：前缀prefix、后缀suffix、子串substring、真前缀真后缀真子串、子序列subsequence。

定义两个串的乘积为两个串的连接。

定义指数运算：s⁰=ε，并且对于i>0，sⁱ为s^i-1s。因为εs=s，由此可知s¹=s，s²=ss，以此类推。

语言上最重要的运算有：并、连接和闭包、正闭包。

例：令L表示字母的集合{A,B,...,Z,a,b,...,z}，令D表示数位的集合{0,1,...,9}。将L和D看做语言，它们所有串的长度都为1。

根据运算符从L和D中构造新语言：L∪D、LD、L⁴、L^*、L(L∪D)^*、D⁺。

正则表达式

正则表达式可以由较小的正则表达式按照如下规则递归的构建。每个正则表达式r表示一个语言L(r)，这个语言也是根据r的字表达式所表示的语言递归的定义的。

归纳基础

1. ε是一个正则表达式，L(ε)={ε}。
2. 如果a是Σ上的一个符号，那么a是一个正则表达式，L(a)={a}。

归纳步骤

假定r和s都是正则表达式，分别表示语言L(r)和L(s)，那么：

1. (r)|(s)是一个正则表达式语言，表示语言L(r)∪L(s)。
2. (r)(s)是一个正则表达式语言，表示语言L(r)L(s)。
3. (r)*是一个正则表达式语言，表示语言(L(r))*。
4. (r)是一个正则表达式语言，表示语言L(r)。

进行如下约定丢掉括号：

1. 一元运算符*具有最高的优先级，并且是左结合的。
2. 连接具有次高的优先级，它是左结合的。
3. |的优先级最低，也是左结合的。

可以用一个正则表达式定义的语言叫做正则集合。如果两个正则表达式r和s表示同样的语言，则称r和s等价，记做r=s。

一些对任意正则表达式r、s、t都成立的代数定律：

• r|s=s|r，|交换律
• r|(s|t)=(r|s)|t，|结合律
• r(st)=(rs)t，连接结合律
• r(s|t)=rs|rt;(s|t)r=sr|tr，连接分配率
• εr=rε=r，ε是连接的单位元
• r*=(r|ε)*，闭包中一定包含ε
• r**=r*，*具有幂等性

 如果∑是基本符号的集合，那么一个正则定义是具有如下形式的定义序列：d_i=r_i(1<=i<=n)

• 每个d_i都是一个新符号，它们都不在∑中，并且各不相同。
• 每个ri是字母表∑∪{d₁,...,d_i-1}上的正则表达式。避免递归定义问题。