最小公倍数和最大公约数之小结

      今天看了HDOJ上的1019题，题目的核心在于求两个数的最小公倍数(lowest common multiple),我想既然看到了这个题目，就把相关求两个数最小公倍数和最大公约数(greatest common divisor)之类的东西总结一下吧，于是就有了这篇文章，文章中参考了部分网络上的资源，尤其是求最大公约数的欧几里德算法，感谢。

首先说明下求最大公约数的欧几里德算法，也叫辗转相除法，如下：

欧几里德算法(辗转相除法)，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

一方面，假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

另一方面，假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb + r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证!

（注 x|y：y可以被x整除，即 y mod x == 0 ）

因此，求a和b的最大公约数就相当于求 b和a%b的最大公约数，如此循环下去，直到a mod b为零为止，因为如果a mod b为零的话，就说明gcd(a,b) = b了，结束。可根据上述算法描述写出程序如下：(分为递归和非递归)

// 递归算法
int  gcd_recursive( int  a, int  b)
{
    int temp;
    if(a < b)
    {
        temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }
    if(b == 0)
        return a;
    else
        return gcd_recursive(b,a%b);
}

 

// 非递归算法
int  gcd_non_recursive( int  a, int  b)
{
    int r;
    r = a%b;
    while(r != 0)
    {
        a = b;
        b = r;
        r = a%b;
    }
    return b;
}

求两个数的最小公倍数可以如下计算：用两个数的乘积除以两个数的最大公约数就可以了.程序如下：

// 求两个数的最小公倍数
// 方法：两个数的乘积除以两个数的最大公约数
// 即：lcm = a*b/gcd(a,b)
int  lcm( int  a, int  b)
{
    return a*(b/gcd_recursive(a,b));
}

在杭电的1019题目中，题目的本意是要求一系列数的最小公倍数，其实这完全可以通过递归来达到要求，求一系列数的最大公约数的原理也是一样的，程序如下：

// 如果是求一系列数的最大公约数，那么就可以采用递归方式从最后一个数开始
// 逐个计算一个数组的最后一个数a[n-1]和前n-1个数的最大公约数就可以了
// 以下的求一系列数的最小公倍数道理相同
int  gcd_n( int   * a, int  n)
{
    if(n == 1)
        return *a;
    else
        return gcd_recursive(a[n-1],gcd_n(a,n-1));
}

int  lcm_n( int   * a, int  n)
{
    if(n == 1)
        return *a;
    else
        return lcm(a[n-1],lcm_n(a,n-1));
}

 结.