斜率优化动态规划

例题：HNOI2008 玩具装箱

状态转移方程

设，

则

设此时有决策a和b，其中a≤b

若决策a优于决策b，则

分离变量，移项整理

 

设

那么就意味着时决策a比决策b优

因为对于每个i来说，是常量，所以是判断决策优劣程度的充要标准。

那么现在考虑决策a，b，c，其中a≤b≤c

若那么有什么结论呢？

分情况讨论，因为和比较可以判定决策的优劣，所以分三种情况：

这意味着a比b优，b又比c优，所以a最优，应该选a，不能选b。

这意味着b比a优，c又比b优，所以c最优，应该选c，不能选b。

这意味着a比b优，c也比b优，所以不是a最优就是c最优，反正b不是最优，还是不能选b。

综上所述，如果，那么b一定不能选，所以就不用考虑b了。

那么就维护一个单调队列：

1、对于队尾：设a,b,c（a≤b≤c）是队尾的三个元素，那么判断和，若，就把c向前一位，也就是覆盖掉b。如此循环判断直到或元素少于三个。

2、对于队头：设a,b（a≤b）是队头的两个元素，因为，且是单调的（如果不单调那只能用平衡树维护了），所以 那么就是说a对于以后的任意一个状态都不是最优决策，所以a出队。

通过以上两种维护，每次转移i时选队头就是最优决策了。

复杂度从O(n²)降到了O(n)。