[NDK 优化多重背包]

单调队列优化多重背包（转自：http://hi.baidu.com/lydrainbowcat/blog/item/d9fb791fc48ae1e0e0fe0bab.html）

   多重背包仅涉及体积而不涉及价值的一类可以使用染色在O(nv)时间、20行左右秒过，然而对于涉及价值的多重背包，则要使用二进制拆分物品优化，或者使用效率更高应用更广的单调队列(O(nv))。

   若有n种物品，背包容量为m，物品体积、价值、最大使用次数为v,w,c，则朴素的动规方程为：f[i]=max{f[i-v*k]+w*k} (1<=k<=c)。我们把所有可能达到的体积按照除以当前物品体积v的余数划分为0~v-1，则当余数为k(k∈[0,v-1])时又可以划分为k,k+v,k+2*v…k+j*v…（1<=j<=(m-k)div v）这几种具体的体积，由于对于余数为k时的转移只会发生在以上列举出的几个体积上，所以可以建立关于以上几个体积的单调队列，以便于快速地找到最优决策。但是这里要注意一点，由于这几个决策的体积和价值都不相同，直接没有可比性，所以我们把这些决策的体积统一到为k时比较，统一方法只需要利用体积为k+j*v这一特点，把需要插入队中的f[k+j*v]的价值减去j*w，就是当体积为k时的一个可以用于比较的“参考”价值。可以很容易想到：由于转移时，使用当前物品贡献的那一部分是二者之差，所以这与减掉j*w之前是等效的。

   这样，每次求f[k+j*v]时，只需要在队列中找到一个最优的决策f[k+j’*v]，使得j-j’<=c即可，剩下的工作就只有维护单调队列了。

核心代码和注释：

procedure insert(x,y:longint);//插入到一个价值单调递减，使用次数单调递增的队列中
 begin
  while (l<=r)and(b[r]<=y) do dec(r);
  inc(r);a[r]:=x;b[r]:=y;
 end;

begin
 readln(n,m);  //n为物品个数、m为背包容量
 for i:=1 to n do
  begin
    read(v,w,c);  //读入当前物品：v为物品体积、w为物品价值、c为物品可用次数

    if m div v<c then c:=m div v;  //最多可使用次数
    for k:=0 to v-1 do  //把所有的体积按除以v的余数划分为0~v-1
     begin
       l:=1;r:=0;  //清空队列
       for j:=0 to (m-k) div v do  //余数为k的又分为k,v+k,2*v+k…j*v+k…
         begin
          insert(j,f[j*v+k]-j*w);  //等效于把体积统一到k，价值减去j*w，这样比较优劣才有意义
         while a[l]<j-c do inc(l);  //删除次数超过c的
          f[j*v+k]:=b[l]+j*w;      //用队列头的值更新f[j*v+k]
         end;
     end;
  end;
  writeln(f[m]);

end.

二进制优化多重背包（祥见《背包9讲》）

View Code

 1 program project1;
 2 var
 3   n, m: longint;
 4   v: array[0..2000] of int64;
 5   f: array[0..200000] of boolean;
 6   s: array[0..300] of longint;
 7 
 8 procedure init;
 9 var
10   i, j, tot, x, y, temp: longint;
11 begin
12   read(n,m);
13   tot := 0;
14   for i := 1 to m do
15     begin
16       read(x,y);
17       temp := 0;
18       while x >= s[temp] do
19         begin
20           inc(tot);
21           v[tot] := s[temp]*y;
22           dec(x,s[temp]);
23           inc(temp);
24         end;
25       if x >= 0 then
26         begin
27           inc(tot);
28           v[tot] := y*x;
29         end;
30     end;
31   readln;
32   m := tot;
33   //writeln(m);
34   //for i := 1 to m do write(v[i],'');
35   //writeln;
36 end;
37 
38 procedure work;
39 var
40   i, j, ans: longint;
41 begin
42   fillchar(f,sizeof(f),false);
43   f[0] := true;
44   for i := 1 to m do
45     for j := n downto v[i] do
46       f[j] := f[j] or f[j-v[i]];
47   for i := n downto 0 do
48     if f[i] then
49       begin
50         writeln(i);
51         break;
52       end;
53 end;
54 
55 procedure done;
56 var
57   i: longint;
58 begin
59   s[0] := 1;
60   for i := 1 to 30 do
61     s[i] := s[i-1]*2;
62 end;
63 
64 begin
65   done;
66   while not seekeof() do
67     begin
68       init;
69       work;
70     end;
71 end.