算法尝试（二）

一、球面坐标变换
　　单位球所在基准空间，以转轴向北极单位向量记ez，定赤道某处为经度0度，球心向该点单位向量记ex，根据右手系，ey=outer_product(ez, ex)。从球心出发向量v_r指向球面上点P，沿经线向南单位向量记ey_s，沿纬线向东单位向量记ex_s，指向球心的为ez_s=-v_r。设该点的经纬度坐标为(alhpa, beta)。球面变换是求当转移到(alpha_new, beta_new)的P_new处，坐标系从coord(ex_s, ey_s, ez_s)变为coord(ex_s_new, ey_s_new, ez_s_new)的变换矩阵。
　　记R_x(angle)、R_y(angle)和R_z(angle)分别为坐标系围绕其第一、二、三分量右手系旋转angle角的变换矩阵。当点从P平移到赤道上同经度点P1，球面坐标系变为coord(ex_s_1, ey_s_1, ez_s_1)，有关系式：coord(ex_s_1, ey_s_1, ez_s_1) == transform(coord(ex_s, ey_s, ez_s),  R_x(beta))。同样，从P_new平移至赤道同经度点P2，球面坐标coord(ex_s_2, ey_s_2, ez_s_2) == transform(coord(ex_s_new, ey_s_new, ez_s_new), R_x(beta_new))。而从P1转至P2，有coord(ex_s_2, ey_s_2, ez_s_2) == transform(coord(ex_s_1, ey_s_1, ez_s_1), R_y(alpha - alpha_new))。从而，coord(ex_s_new, ey_s_new, ez_s_new) == transform(coord(ex_s, ey_s, ez_s), R_x(beta) * R_y(alpha - alpha_new) * R_x(-beta_new))。可见转换和和纬度差有关，始末纬度无关。
　　简记P，P1，P2，P_new的球面坐标系和基准系分别为：(0)，(1)，(2)，(3)，(B)，矩阵右乘代表坐标变换，另外的推导方法有：(1) == (0)R_x(beta)，(B)R_z(alpha) == (1)C，(B)R_z(alpha_new) == (2)C，(2) == (3)R_x(beta_new)，其中C={{0, 1, 0}, {0, 0, -1}, {-1, 0, 0}}。计算结果一致。另外还有别的导出方法，但实质一样，且需要注意的是正交变换是唯一的，因为正交矩阵是可逆的。