模拟退火

爬山算法

爬山算法是一种局部择优的方法，采用启发式方法，是对深度优先搜索的一种改进，它利用反馈信息帮助生成解的决策。

爬山算法一般存在以下问题：

1. 局部最大
2. 高地：也称为平顶，搜索一旦到达高地，就无法确定搜索最佳方向，会产生随机走动，使得搜索效率降低。
3. 山脊：搜索可能会在山脊的两面来回震荡，前进步伐很小。

解决方法：随机重启爬山算法

简单来说，爬山算法就是一种简单的贪心，假设我们要找一个含有多个山峰的函数的最高峰值，先随机选取一点，然后尽可能的向高处走即可。

然而爬山算法有时只能找到局部最优解，即只能找到一个小山坡，而不是最高峰。

模拟退火

简介

模拟退火是一种通用概率算法，用来在固定时间内寻求在一个大的搜寻空间内找到的最优解。模拟退火是 S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt 和 M. P. Vecchi 在1983年所发明。而 V. Černý 在1985年也独立发明此算法。

模拟退火来自冶金学的专有名词退火。退火是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。

模拟退火的原理也和金属退火的原理近似：我们将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。

可以证明，模拟退火算法所得解依概率收敛到全局最优解。

演算步骤

模拟退火算法新解的产生和接受可分为以下步骤：

1. 由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
2. 计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
3. 判断新解是否被接受，判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropolis准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
4. 当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率1 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

通俗一点的解释就是，我们给当前状态设置一个温度，温度越高走的越远，如果新到达的位置比当前位置更优，就直接选择新位置。否则我们有一定概率选择新位置，温度越低这个概率越低，其余的情况不动。而温度随着时间慢慢降低，因此每次移动的距离越来越短，选择不更优解的概率也越来越低。

练习题

求费马点(POJ2420)
题意：给n个点，找出一个点，使这个点到其他所有点的距离之和最小，也就是求费马点。

 1 #include <cstdio>

 2 #include <time.h>

 3 #include <cmath>

 4 #include <cstdlib>

 5 const int RANGE=10000;

 6 const int maxn=110;

 7 const double eps=1e-3;

 8 const double pi=acos(-1.0);

 9 

10 struct Point {

11     double x,y;

12 }p[maxn];

13 int n;

14 double dist(Point a,Point b){

15     return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));

16 }

17 double J(Point t){

18     double res=0;

19     for (int i=0;i<n;i++) res+=dist(t,p[i]);

20     return res;

21 }

22 

23 int SA(int cnt=3) {        //cnt为执行模拟退火的次数，默认为3

24     double step,tmp,ans,theta;

25     double delta=pi/4,ret=1e40,rate=0.83;    //降温速率

26     Point pt,cur;

27     srand(time(NULL));

28     while (cnt--) {

29         step = rate*RANGE;    //初始温度

30         cur.x = (rand()%RANGE+1.0)/RANGE;

31         cur.y = (rand()%RANGE+1.0)/RANGE;

32         ans=J(cur);

33         while ( step>eps ) {

34             for (theta=0; theta<2*pi+eps; theta+=delta) {    //在该点附近产生8个点

35                 pt.x = cur.x + step*cos(theta);

36                 pt.y = cur.y + step*sin(theta);

37                 tmp=J(pt);

38                 if (tmp<ans)    {

39                     ans=tmp;

40                     cur=pt;

41                 }

42             }

43             step *= rate;

44         }

45         if (ans<ret) ret=ans;

46     }

47     return ret+0.5;

48 }

49 

50 int main() {

51     scanf("%d", &n);

52     for (int i=0; i<n; ++i)    scanf("%lf %lf", &p[i].x , &p[i].y);

53     printf("%d\n", SA());

54     return 0;

55 }

POJ 2420

 

求最近点

平面上给定n条线段，找出一个点，使这个点到这n条线段的距离和最小。

 

最小包含球(POJ2069)
题意：给定三维空间的n点，找出一个半径最小的球把这些点全部包围住。

 

解方程
给出方程：F(x)=6x^7+8x^6+7x^3+5x^2-yx，其中0<=x<=100，输入一个y，求F(x)的最小值。

 

题解见 http://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/10019849