uva11426（莫比乌斯反演）

 

传送门：GCD Extreme (II)

题意：给定n（n<=4000000），求G

G=0

for(int i=1;i<n;i++)

for(int j=i+1;j<=n;j++)

G+=gcd(i,j).  

分析：这题本来应该欧拉函数预处理来解决，不过尝试一下莫比乌斯反演，没想到也AC了，复杂度O(nlog(n)),应该是题目100case中大数据不多，不然会超时吧。

设F(n)表示gcd(x,y)==n的倍数所有gcd之和，f(n)表示gcd(x,y)==n的所有gcd之和，那么反演有：

f(1)=mu(1)*F(1)+mu(2)*F(2)+...+mu(n)*F(n).

f(2)=mu(1)*F(2)+mu(2)*F(4)+...+mu(n/2)*F(n).

......

F(d)=(n/i)*(n/i-1)/2*d(其中i%d==0).

用筛素数的方法就可求出所有的f(i)了。

#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <string>

#include <cmath>

#include <limits.h>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <queue>

#include <cstdlib>

#include <stack>

#include <vector>

#include <set>

#include <map>

#define LL long long

#define mod 100000000

#define inf 0x3f3f3f3f

#define eps 1e-6

#define N 4000000

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

#define PII pair<int,int>

using namespace std;

inline int read()

{

    char ch=getchar();int x=0,f=1;

    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

    while(ch<='9'&&ch>='0'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    return x*f;

}

bool vis[N+5];

int mu[N+5],prime[N+5],sum[N+5],cnt[N+5];

void Mobius()

{

    memset(vis,false,sizeof(vis));

    mu[1]=1;

    int tot=0;

    for(int i=2;i<=N;i++)

    {

        if(!vis[i])

        {

            prime[tot++]=i;

            mu[i]=-1;

        }

        for(int j=0;j<tot;j++)

        {

            if(i*prime[j]>N)break;

            vis[i*prime[j]]=true;

            if(i%prime[j]==0)

            {

                mu[i*prime[j]]=0;

                break;

            }

            else

            {

                mu[i*prime[j]]=-mu[i];

            }

        }

    }

}



int main()

{

    int n;

    Mobius();

    while(scanf("%d",&n),n)

    {

       LL ans=0;

       for(int i=1;i<=n;i++)

        for(int j=i;j<=n;j+=i)

        ans+=(LL)mu[j/i]*(n/j)*(n/j-1)/2*i;

       printf("%lld\n",ans);

    }

}

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