UVAlive 6131 dp+斜率优化

这道题和06年论文《从一类单调性问题看算法的优化》第一道例题很相似。

题意：给出n个矿的重量和位置，这些矿石只能从上往下运送，现在要在这些地方建造m个heap，要使得，sigma距离*重量最小。

思路：O(n ^ 3)的DP解法是很容易想出来的。

dp[i][j] 表示第i个矿石点是j个heap的最小花费。

dp[i][j] = min(dp[i][j] , dp[k][j - 1] + sigma(sum[i] - sum[k])) 。

其中i , j , k 分别要一重循环，所以复杂度达到10 ^ 9。

这显然是TLE的，所以需要优化。

我们可以来看状态转移方程，dp[i][j] = dp[k][j - 1] +( sum1[i] - sum1[k] ) * a[i] - (sum2[i] - sum2[k]) .其中sum1是1到i的总重量，sum2表示1到i的总重量*距离。

这样，我们就可以进行斜率优化了。

所以这一维就降成O（1）了。那总的复杂度就是O（n ^ 2）。

 

#include <set>

#include <map>

#include <stack>

#include <cmath>

#include <queue>

#include <cstdio>

#include <string>

#include <vector>

#include <iomanip>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#define Max 2505

#define FI first

#define SE second

#define ll long long

#define PI acos(-1.0)

#define inf 0x7ffffffffffffll

#define LL(x) ( x << 1 )

#define bug puts("here")

#define PII pair<int,int>

#define RR(x) ( x << 1 | 1 )

#define mp(a,b) make_pair(a,b)

#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

#define REP(i,s,t) for( int i = ( s ) ; i <= ( t ) ; ++ i )



using namespace std;



#define N 1111



ll sum1[N] ;

ll sum2[N] ;

ll dp[N][N] ;

int qe[N] ;

ll a[N] , b[N] ;

int n , m ;

//分子

ll getU(int j , int k , int z){

    return dp[k][j - 1] + sum2[k] - (dp[z][j - 1] + sum2[z]) ;

}

//分母

ll getD(int k , int z){

    return sum1[k] - sum1[z] ;

}



ll getDP(int i ,int j ,int k){

    return dp[k][j - 1] + (sum1[i] - sum1[k]) * a[i] - (sum2[i] - sum2[k]) ;

}



int main() {



    while(cin >> n >> m){

        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ )cin >> a[i] >> b[i] ;

        sum1[0] = sum2[0] = 0 ;

        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){

            sum1[i] = sum1[i - 1] + b[i] ;

            sum2[i] = sum2[i - 1] + a[i] * b[i] ;

//            cout << sum1[i] << " " << sum2[i] << endl;

        }

        for (int i = 0 ; i <= n ; i ++ )

            for (int j = 0 ; j <= m ; j ++) dp[i][j] = inf ;

        dp[0][0] = 0 ;



        for (int j = 1 ; j <= m ; j ++ ){

            int head = 0 , tail = 0 ;

            qe[tail ++ ] = 0 ;

            for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){

                while(head + 1 < tail && getU(j , qe[head + 1] , qe[head]) <= a[i] * getD(qe[head + 1] , qe[head]))

                head ++ ;

                dp[i][j] = getDP(i , j , qe[head]) ;



                while(head + 1 < tail && getU(j , i , qe[tail - 1]) * getD(qe[tail - 1] ,qe[tail - 2]) <=

                      getU(j , qe[tail - 1] , qe[tail - 2]) * getD(i , qe[tail - 1]))

                      tail -- ;

                qe[tail ++ ] = i ;

            }

        }

        cout << dp[n][m] << endl ;

    }

    return 0 ;

}