《算法导论》CLRS算法C++实现（八）P108 最大值和最小值

第九章 中位数和顺序统计学

9.1 最小值和最大值

在一个有n个元素的集合中，要做多少次比较才能确定其最小元素呢？可以很容易地给出n-1次比较这个上界：依次查看集合中的每个元素，并记录比较过程中的最小元素。同样道理，最大值也可以通过n-1次比较找出来。这个算法比较简单，我就没有写程序实现了。

在某些应用中，必须找出n个元素集合中的最大值和最小值。按照上面的思路，可以对目标数组进行两次扫描，便可独立得到最小值和最大值。但这是不是最优的算法呢？事实上，至多3floor(n/2)次比较就足以同时找出最大值和最小值。做法是记录比较过程中遇到的最小值和最大值。并不是将每一个输入元素与当前的最大值和最小值分别进行比较，而是成对地处理元素。先将一对输入元素互相比较，然后把较小值与当前最小值进行比较，最大值与当前最大值进行比较，这样每两个元素需要进行三次比较，而不是四次。

C++语言实现

 1 #include <iostream>

 2 

 3 using namespace std;

 4 

 5 struct XY

 6 {

 7     int max;

 8     int min;

 9 };

10 

11 XY returnXY(int x, int y)

12 {

13     XY maxminXY;

14     if(x > y)

15     {

16         maxminXY.max = x;

17         maxminXY.min = y;

18     }

19     else

20     {

21         maxminXY.max = y;

22         maxminXY.min = x;

23     }

24     return maxminXY;

25 }

26 

27 XY maxmin(int* arr, int length)

28 {

29     XY extremum;

30     XY temp;

31     extremum = returnXY(arr[0], arr[1]);

32     if(length % 2 == 0)

33     {

34         for(int i = 2; i < length; i += 2)

35         {

36             temp = returnXY(arr[i], arr[i + 1]);

37             if(extremum.max < temp.max)

38                 extremum.max = temp.max;

39             if(extremum.min > temp.min)

40                 extremum.min = temp.min;

41         }

42     }

43     else

44     {

45         for(int i = 2; i < length - 1; i += 2)

46         {

47             temp = returnXY(arr[i], arr[i + 1]);

48             if(extremum.max < temp.max)

49                 extremum.max = temp.max;

50             if(extremum.min > temp.min)

51                 extremum.min = temp.min;

52         }

53         if(arr[length - 1] > extremum.max)

54             extremum.max = arr[length - 1];

55         else if(arr[length - 1] < extremum.min)

56             extremum.min = arr[length - 1];

57     }

58     return extremum;

59 }

60 

61 int main()

62 {

63     XY maxminXY;

64     int a[] = {22, 34, 95, 87, 56, 980, 12, 48};

65     maxminXY = maxmin(a, 8);

66     cout << "Max = " << maxminXY.max << " " << "Min = " << maxminXY.min << endl;

67     return 0;

68 }

在程序中，我用了一个结构体XY用于同时存储最大值和最小值。函数XY returnXY(int x, int y)是获取每对元素的最大值和最小值的函数。函数XY maxmin(int* arr, int length)是实现同时返回长度为length的数组的最大值和最小值的程序。

习题：在最坏情况下，利用n+ceil(lgn)-2次比较，即可找到n个元素中的第2小元素。（提示：同时找出最小元素）

对数组arr[1…n] 中元素成对的做比较，每次比较后将较小的数拿出，形成的数组再继续这样处理，直到剩下最后的一个，就是数组中最小的那个。在这个过程中，一共进行了n-1 次比较，树根即为最小的元素。而第二小的元素一定是在这个过程中与根节点进行过比较的元素，因为只有最小的元素可以击败次小的元素。这样的数最多有(lgn)个，在这些数中找到最小的元素需要进行ceil(lgn)-1次比较。因此总共所需的比较次数为n+ceil(lgn)-2次。