动态规划求区间最值问题RMQ(Range Minimum/Maximum Query)

求区间最值问题最简单的方法是遍历区间，时间复杂度O(n), 但是当查询次数很多的时候，时间效率并不高。可以用线段树把算法优化到O(logn) (在线段树中保存线段的最值)，不过sparse_table算法是较好的，用O(nlogn)的时间进行预处理，然后用O(1)时间进行查询。
预处理:
预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的，所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。
查询:
假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <= (n - m + 1).于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值，我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的.
例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3))
注意：这里空间复杂度为 O(n * n),可以采用动态数组的方法，只用两列.

 1 #include <stdio.h>

 2 #include <string.h>

 3 #include <math.h>

 4 #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))

 5 

 6 int map[100][100];

 7 /**

 8  * 花费O(nlogn)的时间进行预处理 递推公式

 9  * f[i,j]=max(f[i, j-1], f[i + 2^(j-1), j-1])

10  * @param m 存储数值的数组

11  * @param n 数组长度

12  */

13 void pre_handle(int * m , int n)

14 {

15     memset(map, 0, sizeof(map));

16     for(int i=0;i<n;i++)

17         map[i][0]=m[i];

18     int k = (int)(log(n) / log(2));

19     for(int i=1;i<=k;i++)       /* i表示列，j表示行, 每一列的结果只依赖于前一列 */

20         for(int j = 0; j + pow(2,i-1) < n; j++)

21             /* 注意因为每列都限制j + pow(2,i-1) < n，而除了第一列以外

22              * 其它都不到n-1，所有每一行的最后一个数有可能是不对的，但

23              * 是不影响最后结果 */

24             map[j][i]=max(map[j][i-1], map[j+(int)pow(2, i-1)][i-1]);

25 }

26 

27 int RMQ(int a, int b)

28 {

29     int k = (int)(log(b-a+1)/log(2)); /* 区间长度为b-a+1 */

30     /* 两个区间之间有重合 */

31     return max(map[a][k], map[b+1-(int)pow(2, k)][k]);

32 }

33 

34 int main()

35 {

36     freopen("in", "r", stdin);

37     int n;

38     int m[100];

39     scanf("%d", &n);

40     for(int i=0;i<n;i++)

41         scanf("%d", &m[i]);

42     pre_handle(m, n);

43     printf("%d\n", RMQ(2, 10));

44     printf("%d\n", RMQ(20, 30));

45     return 0;

46 }