HDU3977(斐波那契数列模n的循环节长度)
题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3977
题意：求斐波那契数列模p的循环节长度,注意p最大是2*10^9,但是它的素因子小于10^6。
分析过程：首先我们知道fib数列模p如果出现了连续的1，0就意味这着开始循环了，因为接下来的项就是1 1 2 3 5等等。
那么很显然如果在第k位第一次出现了1，0，那么对于以后的1，0都可以表示为k*m。
那么，现在我们考虑如果fib数列模p在第pos位第一次出现了0，那么设0前面的那个数为a，则接下来的序列将是a，0，a，
a，2a，3a，5a，8a，....。可以看出a的系数就是一个fib数列，那么我们就可以得到fib(k+i)%p=a*fib(i)%p，其中i满
足0<i<k，所以进一步可以得到fib(i)=[a^j*fib(i-k*j)]%p。
那么我们现在先来说说如何求fib数模一个正整数n的循环节长度：
对于这个问题，我们先对n进行素因子分解，得到：
，然后先对每一个形如p^k的数计算循环节，然后它们
的最小公倍数就是n的循环节长度（当然这里面涉及到CRT等等方面的基础）。那么现在问题就是计算p^k的循环节，这个问题
可以进一步简化成求G(p)*p^(k-1)。其中G(p)表示fib数列模素数p的循环节长度，所以现在的问题是如何求fib数列模一个
小于10^6的素数p的循环节长度。
求fib数列模p(p是素数)的最小循环节方法：
暴力枚举fib[i]%p==0的最小的i，然后记录pos=i+1，设a为fib[i]%p==0的前一位数，即a=fib[i-1]
那么我们知道fib数列模p的最小循环节长度一定是pos*x，那么也就是说现在要求一个最小的数x，满足
,
求出x后，那么问题就解决了，剩下的就是合并等等。
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1000005;
bool prime[N];
int p[N];
int pri[N];
int num[N];
int f[N];
int fac[N];
int arr[N];
int k,cnt;
void isprime()
{
k=0;
int i,j;
memset(prime,true,sizeof(prime));
for(i=2; i<N; i++)
{
if(prime[i])
{
p[k++]=i;
for(j=i+i; j<N; j+=i)
{
prime[j]=false;
}
}
}
}
void Solve(LL n)
{
cnt=0;
int ct=0;
int t=(int)sqrt(n*1.0);
for(int i=0; p[i]<=t; i++)
{
if(n%p[i]==0)
{
ct=0;
pri[cnt]=p[i];
while(n%p[i]==0)
{
ct++;
n/=p[i];
}
num[cnt]=ct;
cnt++;
}
}
if(n>1)
{
pri[cnt]=n;
num[cnt]=1;
cnt++;
}
}
LL gcd(LL a,LL b)
{
return b? gcd(b,a%b):a;
}
LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
{
LL ans=1;
a%=m;
while(b)
{
if(b&1)
{
ans=ans*a%m;
b--;
}
b>>=1;
a=a*a%m;
}
return ans;
}
int main()
{
isprime();
int T,a,pos,tt=1;
LL n;
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>n;
printf("Case #%d: ",tt++);
Solve(n);
pos=0;
for(int k=0; k<cnt; k++)
{
f[0]=f[1]=1;
for(int i=2;; i++)
{
f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%pri[k];
if(f[i]==0)
{
a=f[i-1];
pos=i+1;
break;
}
}
int cv=0;
int tmp=pri[k]-1;
int t=(int)sqrt(tmp*1.0);
for(int i=1; i<=t; i++)
{
if(tmp%i==0)
{
if(tmp/i==i)
fac[cv++]=i;
else
{
fac[cv++]=i;
fac[cv++]=tmp/i;
}
}
}
int record=0;
sort(fac,fac+cv);
for(int i=0; i<cv; i++)
{
if(quick_mod(a,fac[i],pri[k])==1)
{
record=fac[i];
break;
}
}
LL ans=record*pos;
for(int i=1; i<num[k]; i++)
ans*=pri[k];
arr[k]=ans;
}
LL ret=1;
for(int i=0; i<cnt; i++)
ret=ret/gcd(ret,arr[i])*arr[i];
cout<<ret<<endl;
}
return 0;
}