冒泡排序最佳情况的时间复杂度，为什么是O(n)

我在许多书本上看到冒泡排序的最佳时间复杂度是O(n)，即是在序列本来就是正序的情况下。

但我一直不明白这是怎么算出来的，因此通过阅读《算法导论-第2版》的2.2节，使用对插入排序最佳时间复杂度推算的方法，来计算冒泡排序的复杂度。

1. 《算法导论》2.2中对插入排序最佳时间复杂度的推算

　　在最好情况下，6和7总不被执行，5每次只被执行1次。因此，

　　

　　时间复杂度为O(n)

 

2. 冒泡排序的时间复杂度

　　2.1 排序代码

public void bubbleSort(int arr[]) {

    for(int i = 0, len = arr.length; i < len - 1; i++) {

        for(int j = 0; j < len - i - 1; j++) {

            if(arr[j + 1] < arr[j])

                swap(arr, j, j + 1);

        }

    }

}

　　2.2 最佳情况

　　　　序列原本就是正序

　　2.3 最佳情况时间复杂度推算

语句	cost	times
i = 0, len = arr.length	c1	1
i < len - 1	c2	n
i++	c3	n - 1
j = 0	c4	n - 1
j < len - i - 1	c5	t(i=0) + t(i=1) + ... + t(i = n-2)
j++	c6	t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)
arr[j + 1] < arr[j]	c7	t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3(i = n-2)
swap(arr, j, j + 1)	c8	t4(i=0) + t4(i=1) + ... + t4(i = n-2)

　　T(n) = c1 + c2n + c3(n - 1) + c4(n - 1) + c5[t1(i=0) + t1(i=1) + ... + t1(i = n-2)] + c6[t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)] + c7[t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3(i = n-2)] + c8[t4(i=0) + t4(i=1) + ... + t4(i = n-2)];　

　　当序列原本就是正序时，8从不被执行。因此

　　T(n) = c1 + c2n + c3(n - 1) + c4(n - 1) + c5[t1(i=0) + t1(i=1) + ... + t1(i = n-2)] + c6[t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)] + c7[t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3(i = n-2)];

　　此时的时间复杂度应为O(n^2)。

　　可是网上和许多书上都写道是O(n)，不知是否有人能帮我解答一下呢？

　　2.4 在Stackoverflow上问到答案了。

　　我原本的代码的时间复杂度确实应该是O(n^2)，但算法可以改进，使最佳情况时为O(n)。改进后的代码为：

public void bubbleSort(int arr[]) {

    boolean didSwap;

    for(int i = 0, len = arr.length; i < len - 1; i++) {

        didSwap = false;

        for(int j = 0; j < len - i - 1; j++) {

            if(arr[j + 1] < arr[j]) {

                swap(arr, j, j + 1);

                didSwap = true;

            }

        }

        if(didSwap == false)

            return;

    }    

}