求数组中最长递增子序列

• 动态规划求解

int calculate(int a[], int n)
{
	int i;
	int maxV;
	//maxLen[i]代表截止到下标为i(包括i)的最长子序列的长度
	int * maxLen = (int *)malloc(n*sizeof(int));

	for(i=0;i<n;i++)
	{
		maxLen[i]=1;
		for(int j = 0;j<i;j++)
		{
			if(a[i]>a[j] && maxLen[j]+1>maxLen[i])
			{
				maxLen[i] = maxLen[j]+1;
			}
		}
	}
	maxV = max(maxLen,n);
	free(maxLen);

	return maxV;
}

时间复杂的为O(n*n)

• 进一步分析

  如果前i-1个元素的任何一个递增子序列的最大值小于第i个元素，那么就可以构成一个新的递增子序列。重要的是我们要保证新的递增子序列尽可能的长。

  
  

• int calculate(int a[],int n)
  {
  
  	int i,j;
  
  	//如果存在含有元素相同个数的多个子序列,长度为i,将多个子序列的最大值中的最小值存入minV[i]
  	int * maxV = (int *)malloc(sizeof(int) * (n+1));
  	//maxLen[i]代表截止到下标为i(包括i)的最长子序列的长度
  	int * maxLen = (int *)malloc(sizeof(int) * n);
  	//记录最长子序列的长度，初始为1
  	int max = 1;
  
  	maxV[1] = a[0];
  	maxV[0] = min(a,n)-1;
  
  	for(i=0;i<n;i++)
  	{
  		//初始化为1
  		maxLen[i]=1;
  	}
  
  	for(i=1;i<n;i++)
  	{
  		for(j=max;j>=0;j--)
  		{
  			//如果当前值a[i]大于长度为j的递增子序列，则可以构成长度为j+1的递增子序列。
  			if(a[i]>maxV[j])
  			{
  				maxLen[i]=j+1;
  				break;
  			}
  		}
  	}
  
  	//如果截止到下标为i(包括i)的最长子序列的长度大于记录max，则将max赋值为maxLen[i]
  	if(maxLen[i]>max)
  	{
  		max=maxLen[i];
  		//该长度为maxLen[i]的子序列的最大值一定为a[i]
  		maxV[maxLen[i]]=a[i];
  	}
  	else if(maxV[j] < a[i] && a[i] < maxV[j+1])
  	{
  		maxV[j+1] = a[i];
  	}
  
  	free(maxV);
  	free(maxLen);
  
  	return max;
  
  }

  时间复杂度O(n*n)

参考书籍：《编程之美》