抽象代数的研究对象辨析

抽象代数被定义为集合与集合上的运算为研究对象的学科.

为什么抽象代数要去研究集合呢? 集合不是早就在康托尔与公理集合论里面就已经研究得差不多了吗?

集合论研究的是抽象化的, 无内容的, 仅限形式上的集合. 而抽象代数研究的是具体的集合. 比如运动群, 交换群, 置换群等理论中研究的集合就都是非常具体的集合. 这个跟"抽象代数"中的抽象其实不太相符. 因为你又说抽象, 但其实研究对象还蛮具体的.

其实它的抽象性体现在其集合中元素的抽象性与运算过程的抽象性. 如群论中, 群集合中的元素不一定要求是数, 而且这些元素的运算也不要求是真正传统意义上的(数的)运算. 也即, 运算不再是运算, 运算的对象也不再是数（实际上，有时候其运算的对象就是运算本身，而真正的运算则是对运算的运算）。

从计算机编程的视角来看, 也就是操作不再一定是对"数"的操作, 操作数也不再一定是"数".

从这个意义上说，抽象代数等于是把语义去掉以后的纯形式化研究。也许这才是它的“抽象性”其真正所在？

但这好象也不太对。因为群明明是非常具体的群，怎么能说这么具体的东西（如运动群）是抽象的呢？其实可以！因为将具体的东西向抽象的东西归类，本来就是一种非常普遍的“认识”行为。抽象代数的研究哲学本来就是先建立抽象的概念并对这样的概念进行深入的研究，然后再去现实世界中寻找满足此类抽象概念约束的具体事物。

一旦找到这样的具体事物，就可以把之前的研究成果立即应用到此类具体的“事物”。这样的研究方法在其它领域并不鲜见，甚至在日常生活中也到处可见。比如，我可能先先研究某种程序设计模式，而后当我一旦碰到合适的应用场景时，把它往具体情景上一套就能得到具体的语义。

比如我先研究了一个模式。假设它是享元模式的话，那么这里的享元在设计模式的环境下其语义只是抽象的“元”，并不是某种具体的对象。但是，一旦我把它应用到相关的设计中去以后模式中的每一个元素都将得到它们自己的具体语义。

事实上，数学的抽象化进程不仅不是太快了，而是太慢了。因为从原始直接的数量语义到将真正将数从整个系统中剔除掉而只进行纯粹抽象的形式化研究，他们其实花了两千多年的时间。所以才说要表扬数学家真的不容易。

抽象化的结果是抽象代数在计算机领域的广泛效用。因为计算机恰好就是也只能以抽象化的形式来处理数据的。计算机能做的唯一事情其实就是符号处理。而抽象代数研究的其实在某个意义上也正是符合及其运算。两者一拍即合。事实上，计算机发源于数理逻辑的研究这个事实就是其佐证：数理逻辑本身的作用就是在语义与语形之间搭建起一座桥梁。使得计算机可以完成有意义的任务。而抽象代数因为本身只是一个纯形式化系统，这使得计算机甚至连语义承载的责任都免了。