分治算法的时间复杂度研究

[大整数乘法]分治算法的时间复杂度研究

开篇

---

 

最近研究分治算法，对大整数算法（包括加减乘数）、strassen矩阵乘法、合并排序的优化、线性时间选择和最接近点对问题学习了一下。

这篇文章主要是关于大整数乘法算法复杂度的研究。

本人菜鸟，本科就读北京一工科院校土建专业，现就读北京一所二流985的计算机研究生。

希望在这里分享和学习，如有错误还请多多指点！

正文

---

 

一，引入问题

在某些情况下，我们需要计算很大的整数，它无法在计算机硬件能直接表示的整数范围内进行处理，如果用浮点数则会有精度问题，这就必须用软件的方法来实现大整数的算术运算。

二，大整数乘法的分治解决方案

2.1原始低效算法

我们将n位（为方便讨论简化问题，我们假设n是2的幂）十进制整数（二进制也可以）X、Y都分为2段，每段的长度是n/2位。

 

 

如果现在直接用递归或分治进行编程，其算法复杂度为： 

这是在没有进行优化情况下的算法复杂度（注意，此处虽然用了分治思想，但分治并不会降低算法复杂度，反而因其需要使用栈，增加了算法的空间复杂度）

 

2.2如何进行优化降低复杂度？

我们知道，大整数乘法的基本运算是“乘法”运算，我们可以通过减少乘法的次数来降低算法复杂度！

从公式中可以发现，原来有四个基本乘积项：AC、AD、BC、BD，现在只有三个基本乘积项：（A-B)(C-D)、AC、BD。乘法运算的数量降低了，下面看看其复杂度变化：

复杂度从n²  降到n^1.59

三，时间复杂度还能优化吗？

3.1乘法次数由4次降低到3次，还能降低吗？

…………介个问题……貌似不能降低了，要是you can you up!

3.2上面讨论中，我们将大整数X、Y都分为2段，每段的长度是n/2位，那分成3段4段会如何？

3.2.1大整数分3段：

3.2.2大整数分4段：

3.2.3大整数分n段：

 

结论：

在大整数乘法中，当把大整数分为2段时，算法时间复杂度最低n^1.59

随着段数逐渐增加，算法的时间复杂度也随之增加，当分段增加到n段时，算法时间复杂度退化到n²  

四，简单介绍一下编程思想（高手此处可以飘过）

---

 此处以四位整数乘法，分2段为例介绍编程思路（代码网上有此处就介绍了）

 

ok，文章结束！