POJ 1185 状态压缩DP

1. 为何状态压缩：

    棋盘规模为n*m，且m≤10，如果用一个int表示一行上棋子的状态，足以表示m≤10所要求的范围。故想到用int s[num]。至于开多大的数组，可以自己用DFS搜索试试看；也可以遍历0~2^m-1，对每个数值的二进制表示进行检查；也可以用数学方法（？）

 

2. 如何构造状态：

    当然，在此之前首先要想到用DP（？）。之后，才考虑去构造状态函数f(...)。

    这里有一个链式的限制 ：某行上的某个棋子的攻击范围是2。即，第r行的状态s[i]，决定第r-1行只能取部分状态s[p]；同时，第r行的状态s[i]，第r-1行状态s[p]，共同决定第r-2行只能取更少的状态s[q]。当然，最后对上面得到的候选s[i], s[p], s[q]，还要用地形的限制去筛选一下即可。

    简言之，第r行的威震第r-2行，因此在递推公式(左边=右边)中，必然同时出现r,和r-2两个行标；由于递推公式中行标是连续出现的，故在递推公式中必然同时出现r, r-1和r-2三个行标。由于在递推公式中左边包含一个f(...)，右边包含另一个f(...)，根据抽屉原理，r, r-1, r-2中至少有两个在同一个f(...)中，因此状态函数中必然至少包括相邻两行的行号作为两个维度。这就是为什么状态函数要涉及到两（相邻的）行，而不是一行。能想到的最简单形式如下：

    dp[r][i][p]：第r行状态为s[i]，第r-1行状态为s[p]，此时从第0行~第r行棋子的最大数目为dp[r][i][p]

 

    递推公式：

 

                                                s[p]影响到s[q]的选取

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                  dp[r][i][p]=max{dp[r-1][p][q]}+sum[j], 其中sum[j]是状态s[j]中1的个数

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                           ----                             |

               s[i]影响到s[p]的选取                 |

                           |                                 |

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代码如下：

  1 #include <stdio.h> 
  2 #include <string.h> 
  3 #include <iostream> 
  4 #define MAX(a,b) (a)>(b)?(a):(b) 
  5 using namespace std; 
  6 int dp[105][65][65];    //d[i][j][k]: “第i行状态是s[j]，第i-1行状态是s[k]”的
  7 int s[105];    //一行的状态选择s[0], s[1], ... , s[k-1]
  8 int n,m;    //n行×m列
  9 int k;    //一行的所有状态数
 10 int map[105];    //'H''P'地图map[0]~map[n-1]，地图每一行map[line]: 1001 表示HPPH
 11 int sum[105]; 
 12 
 13 /*
 14     很久就看推荐题目有这个了，一直没做，因为看了好几次没看懂，都说dp，这几天看了状态压缩后明白了，其实就是用
 15     二进制来表示各个位置的状态然后进行枚举，把状态放进数组里就行，在这里用dp[i][j][k]表示第i行，当前j状态，
 16     i-1行是k状态时候的最大炮数    dp[i][j][k]=MAX(dp[i][j][k],dp[i-1][k][p]+sum[j])
 17 
 18     CAUTION:
 19     1. 所有下标均从0开始
 20     2. m<=10保证了可以用一个int存储一行的状态
 21 */
 22 
 23 //状态s[x]是否造成行冲突
 24 bool ok(int x) 
 25 { 
 26     if(x&(x<<1))return false;
 27     if(x&(x<<2))return false; 
 28     return true;
 29 } 
 30 
 31 //状态s[x]下有多少个1 
 32 int getsum(int x)
 33 { 
 34     int num=0; 
 35     while(x>0) 
 36     { 
 37         if(x&1)num++; 
 38         x>>=1; 
 39     } 
 40     return num; 
 41 } 
 42 
 43 void find() 
 44 { 
 45     memset(s,0,sizeof(s)); 
 46     for(int i=0;i<(1<<m);i++) //i枚举所有m位的二进制数
 47     { 
 48         if(ok(i)) 
 49         { 
 50             s[k]=i; 
 51             sum[k++]=getsum(i); 
 52         } 
 53   
 54     } 
 55 } 
 56   
 57 int main() 
 58 { 
 59     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ 
 60         memset(dp,-1,sizeof(dp)); 
 61 
 62         int i;
 63         for(i=0;i<n;i++){ 
 64              for(int j=0;j<m;j++){ 
 65                 char tmp; 
 66                 cin>>tmp; 
 67                 if(tmp=='H')map[i]=map[i]|(1<<j);//把第i行原始状态取反后放入map[i] 
 68             } 
 69         } 
 70 
 71         k=0; 
 72         find(); 
 73 
 74         //1. 初始化第0行状态（只考虑有效状态，无效状态为-1）
 75         for(i=0;i<k;i++)
 76             if(!(s[i]&map[0])) //s[i]为1的位如果对应平原(0)，则&运算后为0
 77                 dp[0][i][0]=sum[i]; 
 78 
 79         //2. 计算第1~n-1行状态（碰到无效状态,continue）
 80         for(int r=1;r<n;r++) 
 81         { 
 82             for(int i=0;i<k;i++)//枚举第r行的状态 s[i]
 83             { 
 84                 if(map[r]&s[i])    continue;    //通过地形排除部分第r行的状态
 85 
 86                 for(int p=0;p<k;p++)    //枚举第r-1行状态 s[p]
 87                 { 
 88                     if(s[i] & s[p])    continue;    //r与r-1没有想接触的 
 89 
 90                     for(int q=0;q<k;q++)    //枚举第r-2行状态s[q]
 91                     { 
 92                          if(s[p] & s[q])    continue;   //Sam：这行是我加的
 93                          if(s[i] & s[q])    continue;    //r与r-2行没有接触的 
 94 
 95                          if(dp[r-1][p][q]==-1)    continue;    //所有不可能的情形dp[i][j][k]都为-1（初始化的值）
 96                          dp[r][i][p]=MAX(dp[r][i][p],dp[r-1][p][q]+sum[i]); 
 97                     }   
 98                 }    
 99             } 
100         }
101 
102         int ans=0; 
103         for(i=0;i<k;i++) 
104             for(int j=0;j<k;j++) 
105                 ans=MAX(ans,dp[n-1][i][j]); 
106         printf("%d\n",ans); 
107     } 
108 
109     system("pause");
110     return 0;
111 }