吴昊品游戏核心算法（新年特别篇）—— 2堆级别的取石子游戏（威佐夫博弈）（HDOJ 1527）

 

  如图所示，有一些石子，我们在这里将其分为两堆，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

  首先，给出本人先取（先取者，在很多情况下，都有迎来胜利曙光的契机，比如拿破仑，他即使在最后的最后，也是选择首先出击的，这乃是最勇敢的策略，也是最 明智的策略！当然，先走未必都是好的，在以后的例子中可以看到）的条件，输入为两堆石子的数目（这里用int类型是可以装入的），输出分两种情况，如果本 人获胜则输出1，如果本人失败则输出0 (Source：HDOJ 1527)。

  威佐夫博弈与必败点的规律

  前几个必败点如下：(0，0)，(1，2)，(3，5)，(4，7)，(6，10)，(8，13)……可以发现，对于第k个必败点(m(k),n(k))来说，m(k)是前面没有出现过的最小自然数，n(k)=m(k)+k。

  一个必败点的性质：

1.所有自然数都会且仅会出现在一个必败点中；

证 明：m(k)是前面没有出现过的最小自然数，自然与前k-1个必败点中的数字都不同；m(k)>m(k-1)，否则违背m(k-1)的选择原 则；n(k)=m(k)+k>m(k-1)+(k-1)=n(k-1)>m(k-1)，因此n(k)比以往出现的任何数都大，即也没有出现 过。又由于m(k)的选择原则，所有自然数都会出现在某个必败点中。性质1证毕。

2.规则允许的任意操作可将必败点移动到必胜点；

证明：以必败点(m(k),n(k))为例。若只改变两个数中的一个，由于性质1，则得到的点一定是必胜点；若同时增加两个数，由于不能改变两数之差，又有n(k)-m(k)=k，故得到的点也一定是必胜点。性质2证毕。

3.一定存在规则允许的某种操作可将必胜点移动到必败点；

证 明：以某个必胜点(i,j)为例。因为所有自然数都会出现在某个必败点中，故要么i等于m(k)，要么j等于n(k)。若i=m(k)，j> n(k)，可从j中取走j-n(k)个石子到达必败点；若i=m(k)，jm(k)，j=n(k)，可从i中取走i-m(k)个石子到达必败点；

若 i=m(k)，j>n(k)，可从j中取走j-n(k)个石子到达必败点；若i=m(k)，j<n(k)，可从两堆同时拿走 m(k)-m(j-m(k))，从而到达必败点(m(j-m(k))，m(j-m(k))+j-m(k))；若i>m(k)，j=n(k)，可从i 中取走i-m(k)个石子到达必败点；若i<m(k)，j=n(k)，需要再分两种情况，因为i一定也出现在某个必败点中，若i=m(l)，则从j 中拿走j-n(l)，若i=n(l)，则从j中拿走j-m(l)，从而到达必败点(m(l),n(l))。性质3证毕。

  必败点与黄金分割（黄金分割很邪乎啊！任何地方都有用到的）

  判断一个点是不是必败点的公式与黄金分割有关，为：

m(k) = k * (1 + sqrt(5))/2

n(k) = m(k) + k

 

   Solve:有了推导和公式之后，代码就很简单了，注意库函数开了一个C++自带的#include<algorithm>，这里调用了swap(x,y)交换两个数，以及floor(x)进行向下舍入。

 

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cmath>
 4  using  namespace std;
 5  int main()
 6 {
 7      int m,n;
 8      while(scanf( " %d%d ",&m,&n) != EOF)
 9     {
10          if(m > n)
11             swap(m,n);
12          int k = n - m;
13          int data = floor(k*( 1.0+sqrt( 5.0))/ 2);
14 
15          // data==m的时候，处于必败点的位置
16          puts(data == m ?  " 0 " :  " 1 ");
17     }
18 }