Algorithm Gossip: 河內塔

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說明

河內之塔(Towers of Hanoi)是法國人M.Claus(Lucas)於1883年從泰國帶至法國的，河內為越戰時北越的首都，即現在的胡志明市；1883年法國數學家 Edouard Lucas曾提及這個故事，據說創世紀時Benares有一座波羅教塔，是由三支鑽石棒（Pag）所支撐，開始時神在第一根棒上放置64個由上至下依由小 至大排列的金盤（Disc），並命令僧侶將所有的金盤從第一根石棒移至第三根石棒，且搬運過程中遵守大盤子在小盤子之下的原則，若每日僅搬一個盤子，則當 盤子全數搬運完畢之時，此塔將毀損，而也就是世界末日來臨之時。
解法

如果柱子標為ABC，要由A搬至C，在只有一個盤子時，就將它直接搬至C，當有兩個盤子，就將B當作輔助柱。
     







如果盤數超過2個，將第三個以下的盤子遮起來，就很簡單了，每次處理兩個盤子，也就是：A->B、A ->C、B->C這三個步驟，而被遮住的部份，其實就是進入程式的遞迴處理。




事實上，若有n個盤子，則移動完畢所需之次數為2^n - 1，所以當盤數為64時，則所需次數為：

264- 1 = 18446744073709551615

為5.05390248594782e+16年，也就是約5000世紀，如果對這數字沒什麼概念，就假設每秒鐘搬一個盤子好了，也要約5850億年左右。
演算法

Procedure HANOI(n, A, B, C) [
    IF(n == 1) [
        PRINT("Move sheet " n " from " A " to " C);
    ]
    ELSE [
        HANOI(n-1, A, C, B);
        HANOI(1, A, B, C)
        HANOI(n-1, B, A, C);
    ]   
]
實作：C    Java    Python    Scala

C
#include <stdio.h>

void hanoi(int n, char A, char B, char C) {
    if(n == 1) {
        printf("Move sheet from %c to %c\n", A, C);
    }
    else {
        hanoi(n-1, A, C, B);
        hanoi(1, A, B, C)
        hanoi(n-1, B, A, C);
    }
}

int main() {
    int n;
    printf("請輸入盤數：");
    scanf("%d", &n);
    hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
    return 0;
} 

Java
import java.util.*;

public class Hanoi {
    public static void main(String args[]) {
        System.out.print("請輸入盤數：");
        Scanner s = new Scanner(System.in);
        Hanoi hanoi = new Hanoi();
        hanoi.move(s.nextInt(), 'A', 'B', 'C');
    }

    public void move(int n, char a, char b, char c) {
        if(n == 1) {
            System.out.println("盤由 " + a + " 移至 " + c);
        }
        else {
            move(n - 1, a, c, b);
            move(1, a, b, c);
            move(n - 1, b, a, c);
        }
    }
} 

Python
def hanoi(n, A, B, C):
    if n == 1:
        print("Move sheet from %c to %c" % (A, C),)
    else:
        hanoi(n-1, A, C, B)
        hanoi(1, A, B, C)
        hanoi(n-1, B, A, C)

n = input("請輸入整數：")
hanoi(int(n), 'A', 'B', 'C')

Scala
def hanoi(n: Int, a: Char, b: Char, c: Char) {
    if (n == 1) printf("盤由 %c 移到 %c%n", a, c)
    else {
        hanoi(n - 1, a, c, b)
        hanoi(1, a, b, c)
        hanoi(n - 1, b, a, c)
    }   
}
print("請輸入整數：")
hanoi(readInt, 'A', 'B', 'C')