塞尔曲线德卡斯特里奥（de Casteljau）算法及程序

 

 

 

贝塞尔曲线德卡斯特里奥（de Casteljau）算法及程序

设P₀、P₀²、P₂是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P₀和P₂点的两切线交于P₁点，在P₀²点的切线交P₀P₁和P₂P₁于P₀¹和P₁¹，则如下比例成立：

  

这是所谓抛物线的三切线定理。 

 

当 P₀ ， P ₂ 固定，引入参数 t ， 令上述比值为 t:(1- t) ，即有：

 

t 从0 变到1 ，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier 曲线。将一、二式代入第三式得：

当 t 从0 变到1 时，它表示了由三顶点 P₀ 、P₁、P₂三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P₀ ² 可以定义为分别由前两个顶点(P₀,P₁)和后两个顶点(P₁ ,P₂)决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P₀ ³ 可被定义为分别由(P₀,P₁,P₂)和(P ₁ ,P₂,P₃)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点P_i(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P₀ⁿ可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P₀^n-1与P₁^n-1的线性组合：

由此得到Bezier 曲线的递推计算公式

这就是 de Casteljau算法；

具体可参考下面网址:
http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/Bezier/de-casteljau.html

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|下面网址 有关计算机图形学网上教程           |
|   北京大学信息科学学院本科生课程      |
|  http://graphics.pku.edu.cn/courses/CG/      |
|                                                                     |
|                                                                     |
|   http://www.lnnu.edu.cn/xdjyjx/tuxing/           |
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代码如下：

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＊ pDC                设备

＊ flArrayx             组成点x坐标序列

＊ flArrayy             组成点y坐标序列

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊／

int 　deCasteljau(CDC *pDC,CArray<float,float>& flArrayx,CArray<float,float>& flArrayy)

{

                 if(flArrayx.GetSize()!=flArrayy.GetSize())

                        return 0;  

                 float *pflX,*pflY;

                 float flTempx,flTempy,flU;//flu-------u参数(和上面t表示意思相同)

                 int i,n,j;  

                 n=flArrayx.GetSize();    

                 if(n<2) return 0;

                 pflX=new float[n];

                 pflY=new float[n];

                 flTempx=flArrayx.GetAt(0);

                 flTempy=flArrayy.GetAt(0);

                 for(i=0;i<n;i++){

                        pflX[i]=flArrayx.GetAt(i);

                        pflY[i]=flArrayy.GetAt(i);

                 }     

                 for(flU=0;flU<=1;flU+=0.05/n){

                        for(i=1;i<n;i++){

                               for(j=0;j<n-i;j++){

                                      pflX[j]=(1-flU)*pflX[j]+flU*pflX[j+1];

                                      pflY[j]=(1-flU)*pflY[j]+flU*pflY[j+1];

                               }

                        }

                        pDC->MoveTo(flTempx,flTempy);

                        pDC->LineTo(pflX[0],pflY[0]);

                        flTempx=pflX[0];

                        flTempy=pflY[0];

                 }

                 delete[] pflX;

                 delete[] pflY;

                 return 1;

}