状态压缩的动态规划

Mondriaan's Dream
题目来源： http://acm.hunnu.edu.cn/online/?action=problem&type=show&id=10710&courseid=38
题目大意：给一个h*w（1<=h,w<=11）的矩形，用1*2的小矩形去完全覆盖此大矩形且不能重叠，问一共有多少种覆盖方法？
题目分析：此题一直在纠结着我，直到今天才把它AC。

题目的方法其实思路很简单，就是典型的状态压缩的动态规划，按行进行状态压缩，因为当前行的状态只取决于上一行的状态。每一个小的方格用1和0来表示放与不放，整个一行用一个数s来表示，第几个方格的摆放情况与s中相应的二进制位的值一一对应。

状态转移方程：设f(i,s)表示行i-1的状态为s时覆盖的方法数，则：
    
               f(i,s)=sum{f(i+1,s’)}，其中s'为第i行的状态
最终答案即为：sum{f(1,s),s为第0行状态}    （h*w为偶数）

首先1*2的小矩形的摆放有两种方式：可以横着，也可以竖着。如果是横着，就对应的两位都为1；如果是竖着，当前处理这一个小方格用0表示，但下一行的相应位置必须为1，即说明如果上一行对应的位置为0，则决定了本行的对应位置只能为1；但如果是1，则本行可以为1，也可以为0;

其次,当h*w为奇数时，显然答案为0。

算法步骤：

1.首先预处理第0行的所有状态，并保存所有的合法状态于数组state[]中，这通过一个
  dfs()即可完成，时间复杂度为O(w*(2^w))。

2.然后按照状态转移方程，书写DP，其中也需要按照上一行的状态来枚举当前行的状态，也 同样是用一个dfs2()就能搞定。

此题的关键在于：明白算法的思路，然后想方设法去实现即可。
附代码：

#include <iostream>
#include <memory.h>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 13;
typedef __int64  lld;
lld h,w;
lld state[1<<maxn],tail,head;
lld f[maxn][1<<maxn];//f(i,j)表示第i-1行的状态为j时会有f(i,j)种方法
void dfs(lld s,lld k)
{
    if(k==w)
    {//检查这种状态是否合理
        lld i;
        for(i=0;i<w;i++)
        {
            if((s&(1<<i))==0) continue;
            else
            {
                if((s&(1<<(i+1)))==0) break;
                else    i++;
            }
        }
        if(i>=w)    {state[tail++]=s;}
        return ;
    }
    //扩展左儿子
    dfs(s,k+1);
    //扩展右儿子
    dfs(s|(1<<k),k+1);
}
void dfs2(lld s,lld k,lld *a,lld &t)
{
    if(k==w)    {a[t++]=s;return;}
    for(lld i=k;i<w;i++)
    {
        if(s&(1<<i))        {dfs2(s,i+1,a,t);break;}
        else
        {
            if(s&(1<<(1+i)))    {dfs2(s,i+2,a,t);break;}
            dfs2(s,i+1,a,t);
            dfs2(s|(1<<i)|(1<<(i+1)),i+2,a,t);
            break;
        }
    }
}
lld dp(lld row,lld s)
{
    if(row==h)
    {
        int k;
        if(s==(1<<w)-1) k=1;
        else    k=0;
        return f[row][s]=k;
    }
    if(f[row][s]!=-1)      return f[row][s];
    lld sum=0;
    lld s1=(~s)&((1<<w)-1);
    lld q[1<<maxn],h=0,t=0;
    dfs2(s1,0,q,t);
    for(h=0;h<t;h++)    
    {
        //cout<<q[h]<<endl;
        sum+=dp(row+1,q[h]);
    }
    return f[row][s]=sum;
}
int main()
{
    while(scanf("%I64d%I64d",&h,&w),h||w)
    {
        if(h*w&1)   {cout<<0<<endl;continue;}
        if(h==1||w==1)  {cout<<1<<endl;continue;}
        head=tail=0;
        dfs(0,0);//预处理第一行的所有状态
        lld sum=0;
        memset(f,-1,sizeof(f));
        for(head=0;head<tail;head++)
        {
            //cout<<state[head]<<endl;
            sum+=dp(1,state[head]);
        }
        //cout<<sum<<endl;
        printf("%I64d\n",sum);
    }
    return 0;
}