极限集分形的可视化 - 从Circle Inversion说起

原文出处： http://cgpad.com/SPAN/articles_show/297

Circle Inversion和许多数学概念是联系在一起的，它是一种特殊的Inversion类型。它是用一个圆对复平面上的点进行Inversion映射，这相当于欧几里德空间中使用直线对点进行Inversion处理，如下图所示：

其中点A和A'以及点B和B'存在Inversion关系，可以用一个Moebius变换来表示。至于这个以圆C为基准的Inversion关系的数学形式我就不写了，免得弄得人糊里糊涂的。可以不把它当成一种关系，理解成映射就OK了。这种映射如果推广到三维空间就是所谓的Sphere Inversion，在《Indra's Pearls》一书中就是从复平面上的螺旋线的Sphere Inversion开始Kleinian群的论述的。

如果考虑一组Circle，分别为C 1到C N，它们构成一个集合。把这个集合上的每个Circle Inversion看成一个变换，他们构成一个变换集合，或者换个说法，他们构成一个迭代函数系统。采用IFS相同的方法，对其进行迭代，得到的吸引子就被叫做一个极限集。对这个极限集进行着色，可以看到一个有自相似特性的分形结构。

这个图是对五个Circle Inversion构成的IFS进行迭代生成的有限集。可以看出它带有明显的自相似特性，并且这种自相似不是线性的，局部是一个变形后的整体。 从这个意义上讲，分形艺术是通往极限路上的风景。

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